Question

8．如图所示，ABCD是由三部分光滑轨道平滑连接在一起组成的，AB为水平轨道，BCD是半径为R的半圆弧轨道，DE是半径为2R的圆弧轨道，BCD与DE相切在轨道最高点D，R=0.6m．质量为M=0.99kg的小物块，静止在AB轨道上，一颗质量为m=0.01kg子弹水平射入物块但未穿出，物块与子弹一起运动，恰能贴着轨道内侧通过最高点从E点飞出．取重力加速度g=10m/s²，求：
（1）物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度；
（2）物块与子弹经过C点时受到的弹力的大小；
（3）若物块和子弹在CD段某点脱离轨道，求子弹打击前速度的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由物块与子弹一起恰能通过轨道最高点D，根据牛顿第二定律求出在D点的速度，再根据机械能守恒定律求出物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度；
（2）从B到C根据动能定理列式求解速度，再结合牛顿第二定律求出在C点时受到的弹力；
（3）物块和子弹在CD段某点脱离轨道，求出刚好在D点和C点脱离轨道时对应的B点的速度，再根据动量守恒定律求出子弹的初速度．

解答 解：（1）由物块与子弹一起恰能通过轨道最高点D，由重力提供向心力，半径应该为2R，得：（M+m）g=（M+m） $\frac{{v}_{D}^{2}}{2R}$
又由物块与子弹上滑过中根据机械能守恒得：$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{D}^{2}$+（m+M）g•2R=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{B}^{2}$
代入数据解得：${v}_{B}=\sqrt{6gR}=6m/s$
（2）从B到C根据动能定理有：-（m+M）gR=$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}（m+M）{v}_{B}^{2}$
C点，根据牛顿第二定律有：${N}_{C}=（m+M）\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立解得：N_C=40N
（3）若刚好通过半径为R的圆的最高点D点，有：（M+m）g=（M+m） $\frac{{{v}_{D}^{'}}^{2}}{R}$
从B到D根据动能定理有：-（m+M）g•2R=$\frac{1}{2}（m+M）{{v}_{D}^{'}}^{2}$-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{B1}^{2}$
解得：${v}_{B1}=\sqrt{30}m/s$
若刚好通过C点，从B到C根据动能定理有：-（m+M）gR=0-$\frac{1}{2}（m+M）{v}_{B2}^{2}$
解得：v_B2=$2\sqrt{3}m/s$
即：$2\sqrt{3}m/s≤{v}_{B}≤\sqrt{30}m/s$
子弹射入物块过程，由动量守恒定律有：mv₀=（M+m）v_B
联立解得子弹打击前速度的取值范围：$200\sqrt{3}m/s≤{v}_{0}≤100\sqrt{30}m/s$
答：（1）物块与子弹一起刚滑上圆弧轨道B点的速度为6m/s；
（2）物块与子弹经过C点时受到的弹力的大小为40N；
（3）子弹打击前速度的取值范围为$200\sqrt{3}m/s≤{v}_{0}≤100\sqrt{30}m/s$．

点评 本题综合考查了动量守恒定律、机械能守恒定律、能量守恒定律，综合性较强，难度是太大，需加强训练，熟练掌握该类题型．