Question

如图所示，ACB为光滑圆弧轨道其半径为R，O为其圆心，OD为水平台面．AF为光滑水平面且与圆弧ACB光滑连接．已知：在DFAO区域存在水平向左的匀强电场，场强大小为E₁，AOB右侧空间存在水平向右的匀强电场，场强大小为E₂，且E₁=E₂．在AE水平面上有一个质量为m，电荷量为q的带负电小球（可看作质点）．若其重力mg=qE₁ 问
（1）至少从距离A点多远处无初速度释放该小球才能使其通过B点．（2）通过B点后落在水平面OD上距O点的距离在什么范围内．

Answer 1

分析：（1）要使小球到达B点，必须使小球通过AB上速度最小的点．由于mg=qE₂，小球在圆弧轨道的等效最高点在OB右偏45°的H点上．在H点，由重力和电场力的合力恰好提供小球的向心力，由牛顿第二定律求得H点的速度，从小球释放到H点，再应用动能定理列式求解．
（2）从释放到B点的过程，运用动能定理列式求出小球到达B点的最小速度．小球离开B点做平抛运动，由平抛运动的规律求范围．

解答：解：（1）设至少从距离A点x₁处无初速度释放该小球才能使其通过B点．
带电小球要通过B点，根据圆周运动规律，小球在圆弧轨道的等效最高点在OB右偏45°的H点上．从小球释放到H点，由动能定理得：
      qE₁x₁-qE₂

2

2

R-mg（1+

2

2

）R=

1

2

mv2
 在H点，有

2

mg=m

v2

R

又题意，mg=qE₁=qE₂．
联立以上三式得：x₁=（1+

3 2

2

）R
（1）小球通过B点的速度为v_B．由释放到B点，由动能定理得：
  qE₁x₁-mg2R=

1

2

m

v

2 B

  又mg=qE₁．
解得，v_B=

2(3 2 -2)gR

小球离开B点做平抛运动，由平抛运动的规律得：
   R=

1

2

gt2
   x₂=v_Bt
解得，x₂=

2(3 2 -2)

R
即通过B点后落在水平面OD上距O点的距离为x₂≥

2(3 2 -2)

R．
答：
（1）至少从距离A点（1+

3 2

2

）R处无初速度释放该小球才能使其通过B点．
（2）通过B点后落在水平面OD上距O点的距离为x₂≥

2(3 2 -2)

R．

点评：本题是动能定理与圆周运动临界条件、平抛运动的综合应用，关键是找到物理上的“最高点”H．