Question

“能量的比较”
如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个带电小球、，质量分别为3m和m，小球带正电q，小球带负电-2q，开始时两小球相距s₀，小球有一个水平向右的初速度v₀，小球的初速度为零，若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零，则
（1）试证明：当两小球的速度相同时系统的电势能最大，并求出该最大值；
（2）试证明：在两小球的间距仍不小于s₀的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能，并求出这两种能量的比值的取值范围。

Answer 1

解析：（1）由于两小球构成的系统合外力为零，设某状态下两小球的速度分别为和，由动量守恒定律得 （1） （2分）所以，系统的动能减小量为 （2） （1分）由于系统运动过程中只有电场力做功，所以系统的动能与电势能之和守恒，考虑到系统初状态下电势能为零，故该状态下的电势能可表为 （3） （1分）联立（1）、（3）两式，得 （4）由（4）式得：当 （5） （2分）时，系统的电势能取得最大值，而将（5）式代入（1）式，得 （6） （1分）即当两小球速度相同时系统的电势能最大，最大值为 （7） （2分）（2）由于系统的电势能与动能之和守恒，且初始状态下系统的电势能为零，所以在系统电势能取得最大值时，系统的动能取得最小值，为 （8） （2分）由于 （9）所以在两球间距仍不小于的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能。（2分）在这过程中两种能量的比值的取值范围为 （10） （2分）