Question

 如图所示，一个圆弧形光滑圆管轨道ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为R，在A点与水平地面AD相接，地面与圆心O等高，MN是放在水平地面上长为3R、厚度不计的垫子，左端M正好位于A点。将一个质量为m、直径略小于圆管直径的小球从A处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力，小球的半径远小于R。

（1）若小球从C点射出后恰好能打到垫子的M端，求小球经过圆管的最高点C点时对圆管的作用力的大小和方向；

（2）欲使小球能通过圆管最高点C点后落到垫子上，求小球的释放点离A点的高度H满足的条件。

Answer 1

解：

（1）小球离开C点做平抛运动，

竖直方向：   R＝gt²　  

水平方向：   R＝v₁t                 (1分)

设小球以v₁经过C点受到管对它的竖直向上的作用力为F_N，有：

mg－F_N＝m                  (1分)

解得：F_N＝mg－m＝               (1分)

由牛顿第三定律可知，小球对管作用力的大小为mg，方向竖直向下。(1分)

（2）小球由静止释放的高度最大时，小球运动的水平位移为4R，打到N点。设能够落到N点的水平速度为v₂，有：

v₂＝＝                    (1分)

设小球离A点的最大高度为H₂，根据机械能守恒定律可知：

mg（H₂－R）＝mv                (1分)

解得：H₂＝＋R＝5R               (1分)

同理：设小球离A点的最小高度为H₁，有

 mg（H₁－R）＝mv₁²                             (1分)

解得：H₁＝5R/4                     (1分)

因此：5R/4 ≤H≤5R                     (1分)