题目内容
如图所示，以两虚线为边界，中间存在平行纸面且与边界垂直的水平电场，宽度为d，两侧为相同的匀强磁场，方向垂直纸面向里．一质量为m、带电量+q、重力不计的带电粒子，以初速度v1垂直边界射入磁场做匀速圆周运动，后进入电场做匀加速运动，然后第二次进入磁场中运动，此后粒子在电场和磁场中交替运动．已知粒子第二次在磁场中运动的半径是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此类推．求：
（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1；
（2）粒子第n次经过电场时电场强度的大小En；
（3）粒子第n次经过电场所用的时间tn；
（4）假设粒子在磁场中运动时，电场区域场强为零．请画出从粒子第一次射入磁场至第三次离开电场的过程中，电场强度随时间变化的关系图线（不要求写出推导过程，不要求标明坐标刻度值）．
考点： 带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在匀强电场中的运动．
专题： 带电粒子在磁场中的运动专题．
分析： （1）根据牛顿第二定律求出粒子第n次进入磁场时的半径Rn与速度的关系式，由题给条件研究粒子第2次进入磁场时的速度，即粒子第一次经过电场的过程的末速度，根据动能定理求解粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1．
（2）根据第（1）问的结果可知粒子第n+1次进入磁场时和第n次进入磁场时的速度，即第n次进入电场时和穿出电场时的速度，根据动能定理求出粒子第n次经过电场时电场强度的大小En．
（3）根据牛顿第二定律求出粒子第n次经过电场时的加速度，由（2）结论，由速度公式求出粒子第n次经过电场所用的时间tn．
（4）根据En的表达式，分别求出粒子前三次经过电场时的电场强度，再作图．
解答： 解：（1）设粒子第n次进入磁场时的半径为Rn，速度为vn，
由牛顿第二定律得：qvnB=m
①解得：vn=
②
因为：r2=2r1，则：v2=2v1 ③
对粒子第一次在电场中运动的过程，
由动能定理得：W1=
mv22﹣mv12 ④
联立③④解得：W1=
mv12 ⑤；
（2）粒子第n次进入电场时速度为vn，穿出电场时速度为vn+1，
由题意知：vn=nv1，vn+1=（n+1）v1 …⑥
由动能定理得：qEnd=mvn+12﹣mvn2 ⑦
联立⑥⑦解得：En=
⑧；
（3）设粒子第n次在电场中运动的加速度为an，
由牛顿第二定律得qEn=man…⑨
由运动学公式得vn+1﹣vn=antn…⑩
联立⑥⑦⑧⑨⑩解得：tn=
；
（4）E﹣t图象如图所示：
答：（1）粒子第一次经过电场的过程中电场力所做的功W1为
mv12；
（2）粒子第n次经过电场时电场强度的大小En为
；
（3）粒子第n次经过电场所用的时间tn为；
（4）电场强度随时间变化的关系图线如图所示．
点评： 本题关键是充分应用题给条件研究粒子第n次进入电场时的速度，穿出电场时速度．动能定理是功常用的方法．
B． 
D． 
B． 
＜t0＜
C． 
vm2 B． mgh+