Question

3．如图是世界上第一条投入商业运行的磁浮列车，运行理程31.5km，最高速度可达430km/h（即119.4m/s），走完全程只需8min，它是靠磁体间相互作用浮离轨道约15cm，被誉为“飞”起来的交通工具，这样可以大大减小运行中的阻力．根据车厢内显示屏上显示的时刻和速度值，整理后如下表所示（从起动至中途）

t/s	0	8	23	35	55	83	130	189	211	217	226	240
v/（m•s-1）	0	5.3	19.7	28.3	41.9	56.4	85.0	111.1	119.4	119.4	119.4	119.4

假设列车的总质量为3×10⁴kg，列车以较高速度运行时仅受空气阻力作用，且空气阻 力与速度的平方成正比，即f=kv2，式中k=2kg/m．
（1）使列车浮起至少要做多少功？
（2）画出列车在0～240s内的v-t图象；
（3）估算100s 这一时刻，列车牵引力的瞬时功率；
（4）根据以上信息，你还能求出哪些物理量？（写出一个即可）

Answer 1

分析 （1）已知列车质量与浮起的高度，由W=mgh可以求出列车浮起要做的功．
（2）根据表中数据在坐标系中描出对应的点，然后应用描点法作图，作出v-t图象．
（3）由图象求出100s时列车的速度，求出列车的加速度，由牛顿第二定律求出列车的牵引力，然后由P=Fv求出列车的功率．
（4）当列车做匀速直线运动时的运行速度最大，此时牵引力等于阻力，由平衡条件求出牵引力．

解答 解：（1）列车浮起要做的功W=mgh=3×10⁴×10×0.15=4.5×10⁴J；
（2）应用描点法作图，图象如图所示；
（3）由图可知在时间为100s时列车的速度约67m/s，而由图线可知列车在35s～130s之间近似作匀变速直线运动，列车的加速度：
a=$\frac{85-56.4}{130-83}m/{s^2}=0.61m/{s^2}$，
此时阻力位f，牵引力为F，由牛顿第二定律得：F-f=ma，
则F=ma+kv²=3×10⁴×0.61+2×（67）²=2.73×10⁴N，
牵引力功率P=Fv=2.73×10⁴×67W=1.83×10⁶W．
（4）根据某时刻的速度，估算出某一时刻的加速度、功率等．
根据列车以最大速度运行时，做匀速直线运动，可以求出最大牵引力．由平衡条件得：
F=f=kv²=2×（119.4）²N=2.85×10⁴N．
答：（1）使列车浮起至少要做功4.5×10⁴J；
（2）画出列车在0～240s内的v-t图象如图；
（3）估算100s 这一时刻，列车牵引力的瞬时功率是1.83×10⁶W；
（4）根据以上信息，还能求出最大牵引力．

点评 该题考查功与功率的计算，以及作图的能量，掌握描点法作图的方法作出v-t图象是正确解题的前提与关键．