题目内容
如图所示，“×”型光滑金属导轨abcd固定在绝缘水平面上，ab和cd足够长，∠aOc=60°．虚线MN与∠bOd的平分线垂直，O点到MN的距离为L．MN左侧是磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场．一轻弹簧右端固定，其轴线与∠bOd的平分线重合，自然伸长时左端恰在O点．一质量为m的导体棒ef平行于MN置于导轨上，导体棒与导轨接触良好．某时刻使导体棒从MN的右侧| L |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
（1）证明：导体棒在磁场中做匀速直线运动的过程中，感应电流的大小保持不变；
（2）求弹簧的劲度系数k和导体棒在磁场中做匀速直线运动时速度v0的大小；
（3）求导体棒最终静止时的位置距O点的距离．
分析：（1）导体棒在磁场中做匀速直线运动，根据E=BLv求出感应电动势，根据闭合电路欧姆定律求出感应电流，判断感应电流是否为一定值．
（2）释放导体棒后在未进入磁场的过程中，导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，
k(
)2-
kL2=
mv02得出匀速运动的速度大小，从而得知感应电流的大小，根据牛顿第二定律2BIxtan30°-kx=0得出劲度系数k．
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，在停止运动前做变减速运动．根据牛顿第二定律BIl=ma，根据微分思想
△t1+
△t2+
△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…求出导体棒最终静止时的位置距O点的距离．
（2）释放导体棒后在未进入磁场的过程中，导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，
| 1 |
| 2 |
| 5L |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，在停止运动前做变减速运动．根据牛顿第二定律BIl=ma，根据微分思想
| B2l1v1 |
| 3r0 |
| B2l2v2 |
| 3r0 |
| B2l3v3 |
| 3r0 |
解答：解：（1）设导体棒在磁场中做匀速直线运动时的速度为v0，某时刻导体棒在回路中的长度为l，则此时感应电动势E=Blv0
此时回路的电阻R=3lr0
回路中的感应电流I=
=
①
因为B、v0和r0均为不变量，所以感应电流I为不变量．
（2）释放导体棒后在未进入磁场的过程中，导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，则有
k(
)2-
kL2=
mv02②
导体棒在磁场中做匀速直线运动的过程中，设某时刻导体棒距O的距离为x，
根据牛顿第二定律有2BIxtan30°-kx=0③
由①②③解得k=
④v0=
⑤
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，在停止运动前做减速运动．设某时刻导体棒距O点的距离为x，导体棒在回路中的长度为l，加速度为a，速度为v，回路中的电流强度为I，根据牛顿第二定律有BIl=ma
又因为 I=
所以
=ma⑥
取一段很短的时间△t，导体棒在回路中的长度为l、加速度为a和速度为v，l、a和v可认为不变．
设在这段时间内导体棒速度的变化量大小为△v，回路所围面积的变化量为△S．将⑥式左右两边同时乘以△t，可得
△t=ma△t
则导体棒从O点开始运动到静止的过程可表示为
△t1+
△t2+
△t3+…=ma1△t1+ma2△t2+ma3△t3+…
即 ∑
△tn=∑man△tn
所以
∑lnvn△tn=m∑an△tn
∑△Sn=m∑△vn
设导体棒最终静止的位置距O点的距离为x0，则
tan30°=mv0⑦
由⑤⑦式可解得x0=
此时回路的电阻R=3lr0
回路中的感应电流I=
| E |
| R |
| Bv0 |
| 3r0 |
因为B、v0和r0均为不变量，所以感应电流I为不变量．
（2）释放导体棒后在未进入磁场的过程中，导体棒和弹簧组成的系统机械能守恒，则有
| 1 |
| 2 |
| 5L |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
导体棒在磁场中做匀速直线运动的过程中，设某时刻导体棒距O的距离为x，
根据牛顿第二定律有2BIxtan30°-kx=0③
由①②③解得k=
| B4L2 |
| 12mr02 |
| ||
| 8mr0 |
（3）导体棒过O点后与弹簧脱离，在停止运动前做减速运动．设某时刻导体棒距O点的距离为x，导体棒在回路中的长度为l，加速度为a，速度为v，回路中的电流强度为I，根据牛顿第二定律有BIl=ma
又因为 I=
| Bv |
| 3r0 |
所以
| B2lv |
| 3r0 |
取一段很短的时间△t，导体棒在回路中的长度为l、加速度为a和速度为v，l、a和v可认为不变．
设在这段时间内导体棒速度的变化量大小为△v，回路所围面积的变化量为△S．将⑥式左右两边同时乘以△t，可得
| B2lv |
| 3r0 |
则导体棒从O点开始运动到静止的过程可表示为
| B2l1v1 |
| 3r0 |
| B2l2v2 |
| 3r0 |
| B2l3v3 |
| 3r0 |
即 ∑
| B2lnvn |
| 3r0 |
所以
| B2 |
| 3r0 |
| B2 |
| 3r0 |
设导体棒最终静止的位置距O点的距离为x0，则
| B2 |
| 3r0 |
| x | 2 0 |
由⑤⑦式可解得x0=
3
| ||
| 4 |
点评：本题为电磁感应与力和能综合的好题，知道在运动过程中电流为一定值．第（3）问较难，导体棒与弹簧脱离后做变减速运动，需根据微分的思想结合牛顿第二定律去求导体棒最终静止时的位置距O点的距离．
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