Question

6．2012年2月25日凌晨0时12分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭将第十一颗北斗卫星G5成功送入地球同步轨道．按照计划，在2020年左右，我国将建成由30余颗卫星组成的北斗卫星导航系统．地球的质量可以由表达式$M=\frac{a^b}{Gc}$求出，式中G为引力常量，a的单位是m/s，b是a的指数，c的单位m/s²，下列说法正确的是（　　）

• A． a是卫星绕地球运动的速度，b=4，c是地球表面的重力加速度
• B． a是第一宇宙速度，b=4，c是地球表面的重力加速度
• C． a是赤道上的物体随地球一起运动的速度，b=2，c是卫星的向心加速度
• D． a是卫星绕地球运动的速度，b=4，c是卫星的向心加速度

Answer 1

分析 可以采用假设发，即假设a、b、c为题目各个选项中的物理量，然后结合万有引力定律、牛顿第二定律和圆周运动的基本公式进行化简．

解答 解：A、D、卫星受万有引力提供向心力，故：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
M=$\frac{{v}^{2}r}{G}$
由于a=$\frac{{v}^{2}}{r}$
故M=$\frac{{v}^{2}r}{G}$=$\frac{{v}^{2}（\frac{{v}^{2}}{a}）}{G}$=$\frac{{v}^{4}}{Ga}$
故可能a为卫星绕地球运动的速度，b=4，c是卫星所在轨道的加速度；故A错误，D正确；
B、第一宇宙速度：v=$\sqrt{gR}$；
地球表面的重力加速度：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$；
若a是第一宇宙速度，b=4，c是地球表面的重力加速度，则：
$\frac{{v}^{4}}{Gg}$=$\frac{（gR）^{2}}{GM}$=$\frac{{g}^{2}}{\frac{GM}{{R}^{2}}}=\frac{{g}^{2}}{g}=g$；故B错误；
C、如果a是赤道上的物体随地球一起运动的速度，b=2，c是卫星的向心加速度，则：
$\frac{{a}^{b}}{Gc}$的单位：$\frac{（m/s）^{2}}{（\frac{N•{m}^{2}}{k{g}^{2}}）m/{s}^{2}}$=m^-2s²kg^-1；故C错误；
故选：D．

点评 本题关键考虑到有G，故一定用到万有引力定律，然后结合第一宇宙速度表达式、牛顿第二定律表达式、向心力公式等列式分析．