Question

5．如图所示，质量为2m的U形线框ABCD下边长度为L，电阻为R，其它部分电阻不计，其内侧有质量为m，电阻为R的导体棒PQ，PQ与线框相接触良好，可在线框内上下滑动．整个装置竖直放置，其下方有垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度为B．将整个装置从静止释放，在下落过程线框底边始终水平．当线框底边进入磁场时恰好做匀速运动，此时导体棒PQ与线框间的滑动摩擦力为$\frac{1}{2}$mg．经过一段时间，导体棒PQ恰好到达磁场上边界，但未进入磁场，PQ运动的距离是线框在磁场中运动距离的两倍．不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）线框刚进入磁场时，BC两端的电势差；
（2）导体棒PQ到达磁场上边界时速度大小；
（3）导体棒PQ到达磁场上边界前的过程线框中产生的焦耳热．

Answer 1

分析 （1）线框刚进入磁场时做匀速运动．由平衡条件列式求出感应电流，再由欧姆定律求BC两端的电势差；
（2）由速度公式分别列出导体棒相对于线框的距离和线框在磁场中下降的距离，根据PQ运动的距离是线框在磁场中运动距离的两倍，可求出导体棒PQ到达磁场上边界时速度大小；
（3）根据线框下降的时间与导体棒下滑的时间相等和焦耳定律，求解热量．

解答 解：（1）线框刚进入磁场时做匀速运动．由平衡知识可列：
  $2mg+\frac{1}{2}mg=BIL$
BC两端的电势差 ${U_{BC}}=IR=\frac{5mgR}{2BL}$
（2）设导体棒到达磁场上边界速度为υ_PQ，线框底边进入磁场时的速度为υ₀；导体棒相对于线框的距离为x₂，线框在磁场中下降的距离为x₁．
则 ${x_2}=\frac{{{υ_{PQ}}+{υ_0}}}{2}t$
  x₁=υ₀t
由题有 x₂=2x₁
根据闭合电路欧姆定律得：
感应电动势 $ε=2IR=\frac{5mgR}{BL}$
则 $BL{υ_0}=\frac{5mgR}{BL}$
联解上述方程式得：${υ_{PQ}}=\frac{15mgR}{{{B^2}{L^2}}}$
（3）线框下降的时间与导体棒下滑的时间相等 ${υ_{PQ}}-{υ_0}=\frac{1}{2}gt$
线框中产生的焦耳热 Q=I²Rt
联解上述方程式得：$Q=\frac{{125{m^3}{g^2}{R^2}}}{{{B^4}{L^4}}}$
答：
（1）线框刚进入磁场时，BC两端的电势差是$\frac{5mgR}{2BL}$；
（2）导体棒PQ到达磁场上边界时速度大小是$\frac{15mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）导体棒PQ到达磁场上边界前的过程线框中产生的焦耳热是$\frac{125{m}^{3}{g}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

点评 解决本题的关键要抓住线框与导体棒PQ间的关系，如位移关系、时间关系，根据这些关系列式．