Question

7．如图甲所示的坐标系内，在x=x₀（x₀＞0）处有一垂直x轴放置的挡板，在y轴与挡板之间的区域内存在个一与xOy平面垂直且指向纸内的匀强磁场，磁感强度大小B=0.2T，位于坐标原点O处的粒子源向xOy平面内发射出大量同种带正电的粒子，所有粒子的初速度大小均为v_o=1.0×10⁶m/s，粒子的比荷为$\frac{q}{m}$=1.0×10⁸C/kg，不计粒子所受重力和粒子间的相互作用，粒子打到挡板上后均被挡板吸收．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径R：
（2）如图乙所示，为使沿初速度方向与x轴正方向的夹角θ=30°射出的粒子不打到挡板上，x₀必须满足什么条件？该粒子在磁场中运动的时间是多少？
（3）若x₀=7.5×10^-2m，求粒子打在挡板上的范围（用y坐标表示）．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁场中由洛伦兹力充当向心力做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律求出轨道半径．
（2）粒子恰好不打到挡板上，其运动轨迹与挡板相切，画出轨迹，由几何知识求出x₀，即可得到x₀满足的条件．根据粒子轨道对应的圆心角θ，由公式$t=\frac{θ}{2π}T$求出时间
（3）若x₀=7.5×10^-2m，画出粒子的运动轨迹，由几何知识求出粒子打在挡板上的范围

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}=5.0×1{0}_{\;}^{-2}m$
（2）如图所示，设粒子的运动轨迹恰好与挡板相切，由几何关系得：
${x}_{0}^{\;}=R+Rsinθ$
解得：${x}_{0}^{\;}=7.5×1{0}_{\;}^{-2}m$
所以粒子打不到挡板上${x}_{0}^{\;}≥7.5×1{0}_{\;}^{-2}m$
粒子在磁场中运动的周期为T：
$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{Bq}=π×1{0}_{\;}^{-7}s$
由几何知识可知，粒子的轨道对应的圆心角为：$α=2θ+π=\frac{4π}{3}$
则该粒子在磁场中运动的时间：$t=\frac{\frac{4π}{3}}{2π}T=\frac{2}{3}T=\frac{2π}{3}×1{0}_{\;}^{-7}s$
（3）当粒子沿着-y方向入射时，将打在挡板上的M点，其纵坐标${y}_{M}^{\;}=-\sqrt{{R}_{\;}^{2}-（{x}_{0}^{\;}-R）_{\;}^{2}}=-\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m$
当粒子的运动轨迹和挡板相切与N点，其纵坐标${y}_{N}^{\;}=\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m$
则粒子打在挡板上的范围为$-\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m≤y＜\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m$
答：（1）粒子在磁场中运动的轨道半径R为$5.0×1{0}_{\;}^{-2}m$：
（2）如图乙所示，为使沿初速度方向与x轴正方向的夹角θ=30°射出的粒子不打到挡板上，x₀必须满足条件${x}_{0}^{\;}≥7.5×1{0}_{\;}^{-2}m$该粒子在磁场中运动的时间是$\frac{2π}{3}×1{0}_{\;}^{-7}s$
（3）若x₀=7.5×10^-2m，粒子打在挡板上的范围$-\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m≤y＜\frac{5\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{-2}m$

点评 本题的解题关键是画出轨迹，运用几何知识求出相关的距离，确定圆心角，求解粒子运动的时间