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精英家教网如图所示，直角坐标系xOy所决定的平面内，在平行于y轴的虚线MN右侧、y＞0的区域存在着沿y轴负方向的匀强电场；在y＜0的某区域存在方向垂直于坐标平面的圆形有界匀强磁场（图中未画出）．现有一电荷量为q、质量为m的带正电粒子从虚线MN上的P处，以平行于x轴方向的初速度v0射人电场，并恰好从原点O处射出，射出时速度方向与x轴成60°角，此后粒子先做匀速运动，然后进入磁场．粒子从圆形有界磁场中射出时，恰好位于√轴上Q（0，一l）处，且射出时速度方向沿x轴负方向，不计带电粒子的重力．求：
（1）P、O两点间的电势差．
（2）匀强磁场的磁感应强度．
（3）圆形有界匀强磁场的最小面积．（结果用q、m、l、v0表示）
分析：（1）带电粒子从P点射入电场做类平抛运动，将O点速度分解，根据动能定理求出P、O两点间的电势差U．
（2）粒子在y＜0的区域内的匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B．
由题意，粒子做圆周运动的圆心一定在y轴上，洛伦兹力提供向心力qvB=m
v2
R
，再根据几何关系求出半径R，代入可计算出B．
（3）当以粒子进入磁场的位置和射出磁场的位置的连线作为磁场的直径时，磁场面积最小，由几何关系知道得磁场面积最小时的半径r=Rcos30°=
3
6
l．
解答：精英家教网解：粒子在点场中做类平抛运动，有v=
v0
cos60°
=2v0
设P、Q两点间电势差为U，由动能定理有：
qU=
1
2
mv2-
1
2
mv02               
解得：U=
3mv02
2q
                    
（2）粒子在y＜0的区域内运动的轨迹如图所示．
设其在匀强磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为R，磁场的磁感应强度为B．
由题意，粒子做圆周运动的圆心一定在y轴上．
由牛顿第二定律qvB=m
v2
R

解得R=
mv
qB

由几何知道得
R
sin30°
+R=l
解得R=
l
3

所以B=
6mv0
ql

（3）由题意，当以粒子进入磁场的位置和射出磁场的位置的连线作为磁场的直径时，磁场面积最小   
设磁场的最小面积为S．
由几何知道得磁场面积最小时的半径r=Rcos30°=
3
6
l
解得最小面积为S=πr2=
πl2
12
．
答：（1）P、O两点间的电势差为
3mv02
2q
．
（2）匀强磁场的磁感应强度为
6mv0
ql
．
（3）圆形有界匀强磁场的最小面积为
πl2
12
．
点评：解决本题的关键知道粒子在匀强电场中做类平抛运动，进入磁场做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律、运动学公式以及几何关系进行求解．
练习册系列答案
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（2009?宁夏）空间有一均匀强电场，在电场中建立如图所示的直角坐标系O-xyz，M、N、P为电场中的三个点，M点的坐标（0，a，0），N点的坐标为（a，0，0），P点的坐标为（a，
a
2
，
a
2
）．已知电场方向平行于直线MN，M点电势为0，N点电势为1V，则P点的电势为（　　）
在如图所示的直角坐标系xyz所在的区域内，存在电场强度为E的匀强电场和磁感强度为B的匀强磁场．已知从坐标原点O沿x轴的正方向射入质子，穿过这区域时未发生偏转．设重力可忽略不计，则这区域中的E和B的方向可能是（　　）
如图所示，直角坐标系的ox轴水平，oy轴竖直；M点坐标为（-0.3m，0）、N点坐标为（-0.2m，0）；在-0.3m≤X≤-0.2m的长条形范围内存在竖直方向的匀强电场E0；在X≥0的范围内存在竖直向上的匀强电场，场强为E=20N/C；在第一象限的某处有一圆形的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度B=2.5T．有一带电量q=+1.0×10-4C、质量m=2×10-4kg的微粒以v0=0.5m/s的速度从M点沿着x轴正方向飞入电场，恰好垂直经过y轴上的P点（图中未画出，yP＞0），而后微粒经过第一象限某处的圆形磁场区，击中x轴上的Q点，速度方向与x轴正方向夹角为60°．g取10m/s2．求：
（1）场强E0的大小和方向；
（2）P点的坐标及圆形磁场区的最小半径r；
（3）微粒从进入最小圆形磁场区到击中Q点的运动时间（可以用根号及π等表示）
如图所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在水平的x轴下方存在匀强磁场和匀强电场，磁场的磁感应强度为B，方向垂直xOy平面向里，电场线平行于y轴．一质量为m、电荷量为q的带正电的小球，从y轴上的A点水平向右抛出，经x轴上的M点进入电场和磁场，恰能做匀速圆周运动，从x轴上的N点第一次离开电场和磁场，MN之间的距离为L，小球过M点时的速度方向与x轴正方向夹角为θ．不计空气阻力，重力加速度为g，求：
（1）电场强度E的大小和方向；
（2）小球从A点抛出时初速度v0的大小．
在如图所示的直角坐标系中，第一象限内存在着一个水平宽度为L(ON＞L≥
ON
2
)、高度足够的竖直条形匀强磁场区域，磁感应强度用B1表示（大小未知）、方向垂直纸面向内（图中没有画出）．第二、三象限内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为B2、方向垂直纸面向内．第四象限内存在着匀强电场，场强用E表示（大小未知），方向水平向右．一个电荷量为e、质量为m的电子，以初速度V0由Y轴上的M点沿与Y轴成θ=600的方向射入第一象限，从N点垂直x轴进入第四象限区域内，又经P点进入第三象限区域，之后恰好通过坐标原点O．已知0N=b，OM=
2
3
3
b，OP=2b．求：
（1）磁感应强度B1的大小和磁场B1左边界距Y轴的距离．
（2）电场强度E的大小．
（3）电子从P点，第一次到达坐标原点O所经历的时间t．

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