Question

11．如图所示，质量为M、内有半径为R的半圆轨道的槽体放在光滑水平面上，左端紧靠台阶，质量为m的小物体从半圆轨道的顶端A点由静止释放，若槽内光滑，求：
（1）小物体滑槽最低点时的速度v₁；
（2）小物体和滑槽共速时的速度v₂；
（3）小物体上升的最大高度h．

Answer 1

分析 （1）小物体从A点下滑的过程，根据机械能守恒定律求出小物体滑槽最低点时的速度v₁．
（2）小物体从最低点向上运动时，滑槽离开墙壁，M与m组成的系统在水平方向上动量守恒，当小球运动到最大高度时，系统具有共同的速度，结合动量守恒定律求速度v₂．
（3）根据系统机械能守恒定律求出小球上升的最大高度h．

解答 解：（1）小物体由A落至圆弧最低点时的过程，取圆弧最低点为势能零点，由机械能守恒定律得：
  mgR=$\frac{1}{2}$mv₁²                
得 v₁=$\sqrt{2gR}$
（2）小物体从最低点向上运动的过程中，m与M组成的系统在水平方向的动量守恒．取水平向右为正方向，由动量守恒定律有
    mv₁=（M+m）v₂
解得：v₂=$\frac{m}{M+m}\sqrt{2gR}$
（3）小物体从最低点向上运动的过程中，M和m系统的机械能守恒，所以有 $\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$（M+m）v₂²+mgh     
解得m上升的最大高度：h=$\frac{M}{M+m}$R．
答：
（1）小物体滑到圆弧最低点时的速度大小v₁是$\sqrt{2gR}$；
（2）小物体和滑槽共速时的速度v₂是$\frac{m}{M+m}\sqrt{2gR}$；
（3）小物体上升的最大高度是$\frac{M}{M+m}$R．

点评 解决本题的关键是要理清物体的运动过程，正确选择研究对象和研究过程，要知道小物体上升到最高点与M速度相同．