Question

如图所示，竖直的xOy平面内，在x≤0、y≥0的区域内有电场强度E₁=5×10²N/C、方向竖直向下的匀强电场，x＞0、y＜0的区域内有电场强度为E₂、方向竖直向上的匀强电场，E₂=5E_l．不带电的小球B在xOy面内绕x轴上的O1点沿顺时针做圆周运动，运动到O点时速度大小v_o=20m/s，带正电的小球A在y轴上纵坐标y₁=0.4m的P点静止释放，恰好和B在O点发生正碰，并瞬间合成一个整体C，C能够经过最高点0₂和最低点0₃做圆周运动．A，B的质量都是m=0.1kg，拴小球B的轻质绝缘细绳长L=0.8m，A的电荷量q=2×10^-3C．A、B、C都可以看作质点．g取10m/s²．求：
（1）小球A下落到O点的速度v₁是多大？
（2）C运动到0₃时，绳对C的拉力T是多大？
（3）小球A从y轴上y＞0的某些位置开始下落，恰好在O点与B合成为C后，不能够做经过0₂和0₃的圆周运动．求这些位置的范围？

Answer 1

分析：（1）小球A下落到O点的过程中由动能定理即可求解；
（2）由动量守恒求得A与B碰后共同速度，再由动能定理结合向心力公式求解绳对C的拉力；
（3）C不能做能够经过O₂和O₃的圆周运动，即C不能达到能够经过O₂和O₃所需的最小速度．根据动量守恒定律、圆周运动向心力公式、动能定理联立方程即可求得范围．

解答：解：（1）由动能定理有（qE₁+mg）y₁=

1

2

mv12
解得v₁=4m/s                   
（2）设A与B碰后共同速度为v₂，以竖直向上为正方向，由动量守恒得
mv₀-mv₁=2mv₂
解得v₂=8m/s
设C运动到O₃时速度v₃，则
2mgL-qE₂L=

1

2

×2mv32-

1

2

×2mv22
T+qE₂-2mg=2m

v32

L

解得T=7N
（3）C不能做能够经过O₂和O₃的圆周运动，即C不能达到能够经过O₂和O₃所需的最小速度．设C能够做经过O₂的圆周运动，在O₂所需的最小速度为v₄，设C能够做经过O₃的圆周运动，在O₃所需的最小速度为v₅，则
2mg=2m

v42

L

qE₂-2mg=2m

v52

L

解得：v₄=2

2

m/s，v₅=2

3

m/s
C经过O₃时速度为v₅=2

3

m/s，设经过O₂时速度为v₆，则
2qE₂L-4mgL=

1

2

×2mv62-

1

2

×2mv52，由于2qE₂L-4mgL＞0，所以v₆＞v₅=2

3

m/s＞v₄=2

2

m/s．
即C能够做经过O₃就一定能够做经过O₂．
当C能够做经过O₃的速度小于v₅=2

3

m/s时，不能做能够经过O₂和O₃的圆周运动．                                              
设C经过O₃的速度为v₅时，A与B碰后在O点的共同速度为v₇，则
2mgL-qE₂L=

1

2

×2mv52-

1

2

×2mv72
解得：v₇=6m/s                                   
C在O点的速度只要大小为v₇，不管是向上还是向下，C都能够经过O₃．
设C的速度向上时，碰前A的速度为v₈，在y轴上开始位置的坐标为y₂，则
mv₀-mv₈=2mv₇ 
（qE₁+mg）y₂=

1

2

mv82
解得v₈=8m/s，y₂=1.6m                      
设C的速度向下时，碰前A的速度为v₉，在y轴上开始位置的坐标为y₃，则
mv₀-mv₉=-2mv₇ 
（qE₁+mg）y₃=

1

2

mv92
解得v₉=32m/s，y₃=25.6m                  
即1.6m＜y＜25.6m时，C不能做能够经过O₂和O₃的圆周运动． 
答：（1）小球A下落到O点的速度为4m/s；
（2）C运动到0₃时，绳对C的拉力T是7N；
（3）当1.6m＜y＜25.6m时，C不能做能够经过O₂和O₃的圆周运动．

点评：本题主要考查了动量守恒、动能定理、向心力公式的应用，要求同学们能正确分析小球的运动情况，选择合适的定律求解，综合性较强，难度较大．