Question

如图所示，在正方形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场．在t=0时刻，一位于ad边中点o的粒子源在abcd平面内发射出大量的同种带电粒子，所有粒子的初速度大小相同，方向与od边的夹角分布在0～180°范围内．已知沿od方向发射的粒子在t=t₀时刻刚好从磁场边界cd上的p点离开磁场，粒子在磁场中做圆周运动的半径恰好等于正方形边长L，粒子重力不计，求：
（1）粒子的比荷q/m；
（2）假设粒子源发射的粒子在0～180°范围内均匀分布，此时刻仍在磁场中的粒子数与粒子源发射的总粒子数之比；
（3）从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间．

Answer 1

分析：（1）的关键是画出轨迹，再结合几何知识求出圆心角，然后求解．（2）的关键是明确同一时刻仍在磁场中的粒子到o点距离相等，即在t₀时刻仍在磁场中的粒子应位于以o为圆心，op为半径的弧pw上．（3）的关键是根据半径相同的圆中时间与弦长成正比的结论，得出粒子通过b点时所用时间最长，然后求解．

解答：解：（1）初速度沿od方向发射的粒子在磁场中运动的轨迹如图，其园心为n，由几何关系有：sin∠onp=

L 2

L

=

1

2

，所以∠onp=

π

6

，又t0=

T

12

粒子做圆周运动的向心力由洛仑兹力提供，根据牛顿第二定律得Bqv=mr(

2π

T

)

2

，又v=

2πr

T

联立得

q

m

=

π

6Bt0

即粒子的比荷为

π

6 Bt   0

．
（2）依题意，同一时刻仍在磁场中的粒子到o点距离相等，在t₀时刻仍在磁场中的粒子应位于以o为圆心，op为半径的弧pw上，如图所示．
由图知tan∠nop=

L 2

L-：Lcos π 6

=2+

3

，解得∠nop=

5π

12

，所以∠pow=

5π

6

，N=

5π 6

π

=

5

6

即此时刻仍在磁场中的粒子数与总粒子数之比为5：6          
（3）由几何知识可知在磁场中运动时间最长的粒子的轨迹应该与磁场边界b点相交，设此粒子运动轨迹对应的圆心角为θ，则：sin

θ

2

=

L 2   +( L 2 ) 2

2L

=

5

4

，
在磁场中运动的最长时间：t=

θ

2π

T=

12arcsin 5 4

π

t0
故从粒子发射到全部离开磁场所用时间为：t=

12arcsin 5 4 π t

0

．

点评：遇到带电粒子在有界磁场中的运动问题，首先要根据左手定则画出轨迹，根据几何知识求出半径、圆心角，然后再根据物理规律列式求解．