Question

如图所示，在光滑的水平面上有两个方向相反的匀强磁场垂直穿过，磁场的宽度均为L，磁感应强度大小均为B，水平面上放有一正方形金属线框，其边长为a（a＜L），电阻为R．

（1）若线框以速度v从磁场区左侧匀速向右穿过该磁场区域到达磁场区右侧的过程中，求外力所做的功．
（2）若线框从磁场区左侧以水平向右的某个初速度进入磁场，刚好能从磁场区右侧全部出来，求线框在进入磁场和离开磁场的过程中产生的热量之比．

Answer 1

分析：（1）分三段：线圈进入磁场的过程、线圈从左侧磁场进入右侧磁场、线圈离开磁场的过程，分别求出安培力，根据功的公式求解．
（2）根据动量定理，分别研究以上三个过程，得到三段过程运动速度与电量的关系，根据法拉第定律、欧姆定律得到电量的关系，求出三个过程的速度关系，再根据能量守恒求解热量．

解答：解：（1）线圈进入磁场的过程中，安培力做功
  W₁=F₁a=（I₁aB）a=(

Bav

R

aB)a=

B2a3v

R

线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中，
安培力做功W₂=F₂a=（2I₂aB）a=（2

2Bav

R

aB）a=

4B2a3v

R

线圈离开磁场的过程中，安培力做功
  W₃=F₃a=（I₃aB）a=（

Bav

R

aB）a=

B2a3v

R

整个过程中外力做功等于安培力做的总功
 W=W₁+W₂+W₃=

6B2a3v

R

（2）设线圈进入磁场前的初速度为v₀，在左侧磁场中运动的速度为v₁，线圈在右侧磁场中运动的速度为v₂，线圈的质量为m
线圈在进入磁场过程中，根据动量定理得：
-

.

F1

t₁=-（

.

I1

aB）t₁=mv₁-mv₀
又感应电荷量q₁=

.

I1

t₁．
即-q₁aB=mv₁-mv₀ ①
线圈从左侧磁场进入右侧磁场的过程中，同理可得：
-2F₂t₂=-2（

.

I2

aB）t₂=mv₂-mv₁
即-2q₂aB=mv₂-mv₁ ②
线圈离开磁场的过程中，同理可得：
-

.

F3

t₃=-（

.

I3

aB）t₃=-mv₂
即-q₃aB=0-mv₂ ③
又感应电荷量q₁=

△Φ1

R

，q₂=

△Φ2

R

，q₃=

△Φ3

R

其中△Φ₁=△Φ₂=Ba²，△Φ₃=2Ba²，
所以q₂=2q₁，q₃=q₁
由①②③式解得v1=

5

6

v0，v2=

1

6

v0
所以

Q1

Q2

=

1 2 m v 2 0 - 1 2 m v 2 1

1 2 m v 2 2 -0

=

v 2 0 - v 2 1

v 2 2

=

11

1

答：
（1）外力所做的功为

6B2a3v

R

．
（2）线框在进入磁场和离开磁场的过程中产生的热量之比为11：1．

点评：本题首先能分段研究安培力的大小，难点是运用动量定理列式，结合电量关系，求三段过程速度关系．