Question

13．如图为某种鱼饵自动投放器放在足够大水塘中的投饵管装置示意图，其下半部AB是一长为2R的竖直细管，上半部BC是半径为R的四分之一圆弧弯管，管口沿水平方向，AB管内有一原长为R、下端固定的轻质弹簧．投饵时，每次总将弹簧长度压缩到0.5R后锁定，在弹簧上端放置一粒鱼饵，解除锁定，弹簧可将鱼饵弹射出去．如果质量为m的鱼饵到达管口C时，对上侧管壁的弹力恰好为mg．不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，且锁定和解除锁定时，均不改变弹簧的弹性势能．已知重力加速度为g、求：
（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小V_C；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能E_p；
（3）已知地面与水面相距1.5R，若使该投饵管绕AB管的中轴线00′在360°角的范围内缓慢转动，每次弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵的质量在$\frac{1}{2}$m到$\frac{7}{6}$m之间变化，且均能落到水面．持续投放足够长时间后，鱼饵能够落到水面的最大面积S是多少．

Answer 1

分析 （1）鱼饵到达管口C时做圆周运动的向心力由重力和上侧壁的压力提供，有牛顿第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不计鱼饵在运动过程中的机械能损失，所以鱼饵增加的机械能都是弹簧做功的结果，由功能关系知道弹簧具有的弹性势能等于鱼饵增加的机械能．
（3）分别求出质量是$\frac{1}{2}$m和$\frac{7}{6}$m的鱼饵离开C时的速度，再利用平抛运动规律求出落到水平面到转轴之间的距离，鱼饵在水平面形成两个圆面积，中间夹的环形面积即为所求．

解答 解：（1）由题意知，在C点，根据牛顿第二定律得：${F_N}+mg=m\frac{v_c^2}{R}$，F_N=mg，
解得：${v_c}=\sqrt{2gR}$；
（2）从出发到C点的过程中，根据能量守恒：${E_p}=\frac{5}{2}mgR+\frac{1}{2}mv_c^2=\frac{7}{2}mgR$，
（3）当鱼饵的质量为$\frac{m}{2}$时，根据能量守恒$\frac{7}{2}mgR=\frac{5}{2}•\frac{1}{2}mgR+\frac{1}{2}•\frac{1}{2}mv_{c1}^2$，
解得：${v_{c1}}=\sqrt{9gR}$，
鱼饵做平抛运动，$h=4.5h=\frac{1}{2}g{t^2}$，
解得水平位移x₁=v_c1t=9R；
当鱼饵的质量为$\frac{7}{6}m$时，同理解得：鱼饵到C点速度：${v_{c2}}=\sqrt{gR}$，水平位移x₂=v_c2t=3R，
鱼饵的落点区域为圆环形状，r₁=10R，r₂=4R，环形面积$s=π（{r_1^2-r_2^2}）=84π{R^2}$
答：（1）质量为m的鱼饵到达管口C时的速度大小为$\sqrt{2gR}$；
（2）弹簧压缩到0.5R时的弹性势能为$\frac{7}{2}mgR$；
（3）鱼饵能够落到水面的最大面积S是84πR²．

点评 本题考查了圆周运动最高点的动力学方程和平抛运动规律，转轴转过360°鱼饵在水平面上形成圆周是解决问题的关键，这是一道比较困难的好题．