Question

图（甲）为小型旋转电枢式交流发电机的原理图，其矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的固定轴OO′匀速转动，线圈的匝数n=100匝、电阻r=10Ω，线圈的两端经集流环与电阻R连接，电阻R=90Ω，与R并联的交流电压表为理想电表． 在t=0时刻，线圈平面与磁场方向平行，穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按图15（乙）所示正弦规律变化． 求：
（1）从1.57×10^-2s到4.71×10^-2s内通过电阻R上的电量q．
（2）电路中交流电压表的示数．
（3）线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功W_外．

Answer 1

分析：（1）根据法拉第电磁感应定律公式、闭合电路欧姆定律公式和电流的定义公式列式后推导出电量表达式q=n

△φ

R总

，然后求解通过电阻R上的电量q；
（2）交流发电机产生电动势的最大值E_m=nBSω，根据Φ-t图线得出周期T以及角速度．从而求出感应电动势的最大值；图中是以垂直于中性面开始计时的，所以感应电动势的瞬时表达式：e=E_mcos（ωt）；
（3）线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功等于产生的电能．

解答：解：（1）由法拉第电磁感应定律可知，平均电动势：

.

E

=n

△Φ

△t

=n

2Φm

△t

平均电流

.

I

=

. E

R+r

流过R的电量q=

.

I

△t
联立上式得：q=n

△φ

R+r

=n

2φm

R+r

=100×

2×2×10-2

90+10

C=0.04C
（2）线圈转动的角速度ω=

2π

T

=100rad/s
感应电动势最大值E_m=nBSω
由图可知φm=BS=2×10-2wb
回路中的电流的有效值I=

Em

2 (R+r)

电压表示数U=IR
联立上式得：
I=

2

A=1.4A
U=90

2

V=127V
（3）线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功：
W_外=Q_总=I²（R+r）t=1.4²×（90+10）=1212.56J
答：（1）从1.57×10^-2s到4.71×10^-2s内通过电阻R上的电量q为0.04C．
（2）电路中交流电压表的示数为127V．
（3）线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功为1212.56J．

点评：解决本题的关键知道正弦式交流电峰值的表达式E_m=nBSω，以及知道峰值、有效值、平均值和瞬时值的区别．