Question

在空间中取坐标系Oxy，在第一象限内平行于y轴的虚线MN与y轴距离为d，从y轴到MN之间的区域充满一个沿y轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E，如图所示．初速可忽略的电子经过一个电势差U₀未确定的电场直线加速后，从y轴上的A点以平行于x轴的方向射入第一象限区域，A点坐标为（0，h）．不计电子的重力．
（1）若电子经过x轴时的坐标为（2d，0），求加速电场的电势差U₀．
（2）加速电场的电势差U₀不同，电子经过x轴时的坐标也不同．试写出电子经过x轴时的坐标与加速电场的电势差U₀的关系式．（只要求写出结果，不需写出过程）

Answer 1

分析：（1）根据动能定理求出电子进入匀强电场时的速度，在匀强电场中做类平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，离开匀强电场后做匀速直线运动，将离开电场后的匀速直线运动仍然分解为水平方向和竖直方向，抓住水平位移和竖直位移关系，运用运动学公式进行求出加速电场的电势差U₀．
（2）加速电场较小时，粒子的水平位移可能小于d，分两种情况讨论，粒子出电场经过x轴和粒子不出电场经过x轴．
不出电场时，粒子与x轴的坐标为类平抛运动的水平位移．出电场经过x轴时，求出类平抛运动出电场时竖直方向和水平方向的分速度，以及竖直方向上的位移，然后将出电场的运动分解为水平方向和竖直方向，通过等时性求出与x轴的坐标．

解答：解：（1）设电子的电荷量为e、质量为m，电子经过电场加速后获得速度v₀．则eU0=

1

2

m

v

2 0

①
电子在匀强电场中运动，有d=v₀t②
a=

eE

m

③
y=

1

2

at2④
离开电场时，有v_y=at⑤
离开电场后匀速运动，有x'=d=v₀t'⑥
y'=h-y=v_yt'⑦
由以上各式解得加速电场的电势差U0=

3Ed2

4h

⑧
（2）U≤

Ed2

4h

时，x=2

U0h E

⑨
U＞

Ed2

4h

时，x=

d

2

+

2U0h

Ed

⑩
答：（1）加速电场的电势差U0=

3Ed2

4h

．
（2）电子经过x轴时的坐标与加速电场的电势差U₀的关系式为U≤

Ed2

4h

时，x=2

U0h E

，U＞

Ed2

4h

时，x=

d

2

+

2U0h

Ed

．

点评：解决本题的关键理清带电粒子的运动过程，先在加速电场中做加速运动，然后做类平抛运动，最后做匀速直线运动．在处理粒子运动时将类平抛运动和匀速直线运动都分解为水平方向和竖直方向．