Question

13．如图所示，在倾角θ=30°的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN，相距为L，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下．两根质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在导轨上EF、GH位置，其中a 棒用平行于导轨的细线跨过光滑定滑轮与重物c 连接．已知EF上方导轨的电阻与到EF的距离x有关，EF下方的导轨没有电阻．现在由静止释放a、b、c，a、c一起以加速度$\frac{g}{2}$做匀加速运动，b棒刚好仍静止在导轨上．a棒在运动过程中始终与导轨垂直，a、b棒电阻不计，与导轨电接触良好．
（1）求重物c的质量；
（2）求EF上方每根导轨的电阻与到EF的距离x之间的关系；
（3）某时刻t，与a棒连接的细线突然被拉断，求细线被拉断的瞬间a 棒的加速度大小；
（4）在第（3）问中，假设细线被拉断的瞬间，a、b棒的重力突然消失．求从释放a、b、c 到a、b棒的速度稳定过程中，a棒克服安培力做的功．

Answer 1

分析 （1）分别对abc三个物体受力分析，根据牛顿第定律列式联立即可求得重物c的质量；
（2）对ab组成的回路分析，根据闭合电路欧姆定律可明确感应电动势的大小，从而确定电阻表达式；
（3）对a棒分析，明确受力情况，再根据牛顿第二定律可求得加速度的大小；
（4）分析各导体棒的运动过程，再根据动能定理分析即可求出a棒克服安培力所做的功．

解答 解：（1）设重物c 的质量为M．对a棒，由牛顿定律得T-mgsinθ-BIL=ma①
对重物C，由牛顿定律得Mg-T=Ma②
对b棒，由平衡条件得BIL=mgsinθ③
由①②③式解得 M=3m．
（2）对a、b棒构成的回路，由闭合电路欧姆定律得BLat=2rI④
对a棒由运动学公式得 $x=\frac{1}{2}a{t^2}$⑤
由  ③、④、⑤式解得 $r=\frac{{{B^2}{L^2}}}{mg}\sqrt{gx}$
（3）细线被拉断的瞬间，a 棒受安培力不变，对a 棒由牛顿定律得ma′=mgsinθ+BIL⑥
由③、⑥式解得：a′=g
（4）细线被拉断后，在安培力作用下，b棒向上做加速运动，a棒向上做减速运动，a棒和b棒上的电流大小总是相等，安培力大小总是相等，加速度大小总是相等，所以相等时间内速度变化量大小相等，直至a、b棒构成回路的磁通量不变化，即a、b棒构成回路的面积不变化，即二者以共同速度做匀速直线运动为止．共同速度满足
v_同=v_b=△v
且v_同=v_a=at-△v⑦
解得${v_同}=\frac{1}{2}at=\frac{1}{4}gt$⑧
从释放a、b、c 到细线刚被拉断的过程中，a 棒克服安培力做的功：${W_1}=BIL•\frac{1}{2}a{t^2}$⑨
从细线刚被拉断到a、b 棒的速度稳定（即二者以共同速度匀速直线运动）的过程中，对a 棒由动能定理可得a 棒克服安培力做的功${W_2}=\frac{1}{2}m{（at）^2}-\frac{1}{2}mv_{{同_{\;}}}^2$ ⑩
由  ③、⑧、⑨、⑩式解得W=W₁+W₂=$\frac{7}{32}m{g^2}{t^2}$
答：（1）重物c的质量为3m；
（2）EF上方每根导轨的电阻与到EF的距离x之间的关系为 $r=\frac{{{B^2}{L^2}}}{mg}\sqrt{gx}$
（3）某时刻t，与a棒连接的细线突然被拉断，细线被拉断的瞬间a 棒的加速度大小为g；
（4）从释放a、b、c 到a、b棒的速度稳定过程中，a棒克服安培力做的功为$\frac{7}{32}m{g^2}{t^2}$．

点评 本题涉及多个物体的运动，要注意从导体棒的平衡展开处理可得各力的大小，明确各导体棒的运动过程，再从能量守恒角度分析能量的变化是关键．