Question

如图甲所示，K与虚线MN之间是加速电场，虚线MN与PQ之间是正交的匀强电场和匀强磁场区域，电场与磁场的方向如图．MN、PQ与荧光屏三者互相平行．一带正电的粒子（不计重力）由静止开始经加速电场后从A点垂直方向进入正交电磁场区，沿水平直线打在荧光屏的O点．现撤除MN与PQ间的磁场，而将同样大小和方向的磁场充满PQ与荧光屏之间，如图乙所示．其他条件不变，带电粒子在离开偏转电场后进入匀强磁场，最后恰好垂直地打在荧光屏上．已知电场和磁场区域在竖直方向足够长，加速电场电压与偏转电场的场强关系为U=

1

2

Ed，式中的d是偏转电场的宽度．若题中只有偏转电场的宽度d为已知量，则
（1）画出乙图中带电粒子轨迹示意图；
（2）磁场的宽度L为多少？
（3）带电粒子在电场和磁场中在竖直方向的偏转距离分别是多少？

Answer 1

分析：（1）粒子先在电场中加速直线运动，当垂直匀强电场时，做类平抛运动后，垂直进入匀强磁场做匀速圆周运动，正好垂直出磁场打到屏上．
（2）在加速直线运动中，根据动能定理可列出垂直进入匀强电场的速度与电压的关系式；当粒子做平抛运动时，由平抛运动规律可列出沿电场力方向速度、加速度与时间关系式；由题意再结合粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆弧半径与磁场宽度的关系，从而求出磁场的宽度；
（3）分别运用运动学公式，求出类平抛运动与匀速圆周运动的偏移量．

解答：解：（1）轨迹如图所示   
（2）粒子在加速电场中，由动能定理有qU=

1

2

m

v

2 0

粒子在匀强电场中做类平抛运动，设偏转角为θ，有tanθ=

vy

v0

电场力方向：v_y=at
牛顿第二定律：a=

qE

m

初速度方向，匀速直线运动：t=

d

v0

匀强电场与电势差关系：U=

1

2

Ed   
 解得：θ=45°
由几何关系得，带电粒子离开偏转电场速度为

2

v0
粒子在磁场中运动，由牛顿第二定律有：qvB=m

v2

R

在正交的电磁场区有：qE=qv₀B              
在磁场中偏转的半径为 R=

mv

qB

=

2 mv0

qE/v0

=

2 m v 2 0

qE

=

2

d
由图可知，磁场宽度L=Rsinθ=d    
（3）粒子在偏转电场中：△y1=

1

2

at2
带电粒子在偏转电场中距离为△y₁=0.5d，
在磁场中偏转距离为△y2=(1-

2

2

)×

2

d=0.414d
答：（1）带电粒子轨迹示意图如上图；
（2）磁场的宽度L为d；
（3）带电粒子在电场和磁场中在竖直方向的偏转距离分别是0.5d与0.414d．

点评：考查动能定理、平抛运动规律、牛顿第二定律、电场强度与电势差关系，并涉及到电场力使粒子做类平抛运动，洛伦兹力使粒子做匀速圆周运动，同时利用圆弧的几何知识来确定长度关系．本题是力电综合题，有一定难度，容易失分．