Question

（15分）一半径为的水平光滑圆桌面，圆心为，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线，如图所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．

1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?

2．若绳刚要断开时，桌面圆心到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心的水平距离为多少？已知桌面高度．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为。

Answer 1

解析：

1．因桌面是光滑的，轻绳是不可伸长的和柔软的，且在断开前绳都是被拉紧的，故在绳断开前，物块在沿桌面运动的过程中，其速度始终与绳垂直，绳的张力对物块不做功，物块速度的大小保持不变。设在绳刚要断开时绳的伸直部分的长度为，若此时物块速度的大小为，则有

                                          （1）

绳对物块的拉力仅改变物块速度的方向，是作用于物块的向心力，故有

                                   （2）

由此得

                                           （3）

代入数据得                                 （4）

2. 设在绳刚要断开时，物块位于桌面上的点，是绳的伸直部分，物块速度的方向如图所示．由题意可知，．因物块离开桌面时的速度仍为，物块离开桌面后便做初速度为的平抛运动，设平抛运动经历的时间为，则有

                      （5）

物块做平抛运动的水平射程为

                        （6）

由几何关系，物块落地地点与桌面圆心的水平距离为

                                （7）

解（5）、（6）、（7）式，得

                            (8)

代入数据得