Question

11．如图所示，倾角为α斜面体（斜面光滑且足够长）固定水平地面上，斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为l的轻质弹簧相连，弹簧的另一端连接着质量为m的物块，开始静止于O点．压缩弹簧使其长度为$\frac{1}{2}$l时将物块由静止开始释放，重力加速度为g．
（1）证明物块做简谐运动，
（2）物块振动时最低点距O点距离A．

Answer 1

分析 （1）当物体所受的合力为零时，物体处于平衡位置，结合共点力平衡求出平衡位置时的弹簧伸长量，从而得出弹簧的长度．抓住x表示物块相对于平衡位置的位移，根据牛顿第二定律推导回复力是否满足F=-kx．
（2）根据初始位置和平衡位置之间的距离得出振幅的大小，结合对称性求出最低点距O点距离A．

解答 解：（1）设物块在斜面上平衡时，弹簧伸长量为△L，有：
mgsina-k△L=0
解得：$△L=\frac{mgsinα}{k}$．
此时弹簧的长度为$l+\frac{mgsinα}{k}$．
当物块的位移为x时，弹簧伸长量为x+△L，物块所受合力为：
F_合=mgsinα-k（x+△L）
联立以上各式可得：F_合=-kx
可知物块作简谐运动．
（2）物块作简谐运动的振幅为：$A=\frac{L}{4}+\frac{mgsina}{k}$
在平衡位置知，弹簧的伸长量为：$△L=\frac{mgsinα}{k}$．
由对称性可知，最大伸长量为$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$．
即物块振动时最低点距O点距离A为$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$
答：（1）证明如上所示．
（2）弹簧的最大伸长量为$\frac{L}{4}+\frac{2mgsina}{k}$．

点评 本题考查牛顿第二定律和胡克定律的综合运用，关键是理清过程，确定出平衡位置，得出振幅的大小是解决本题的关键．