Question

11．图甲所示为示波管的原理图，图乙表示荧光屏界面，从发热的灯丝射出的电子初速度很小，可视为零，在灯丝和极板P之间所加电压为U₁，在两对偏转电极XX′和YY′所加的电压分别为U₂和U₃，如果U₁＞0，U₂=U₃=0，则从电子枪射出的电子束将打在荧光屏的中心O点，如果U₃=0，U₂的大小随时间变化，其规律如图丙所示，则荧光屏上将出现一条水平亮线．已知U₁=2500V，每块偏转极板的长度l都等于4cm，两块正对极板之间的距离d=1cm，设极板之间的电场可看作是均匀的，且极板外无电场，在每个电子通过电场区域的极短时间内，电场可视作恒定的，XX′极板的右端到荧光屏的距离L=8cm，荧光屏界面的直径D=20cm，要使电子都能打在荧光屏上，U₂的最大值U是多少伏？

Answer 1

分析 根据动能定理求电子加速后的速度，即进入A、B板时的初速度；电子射入A、B板间，电场可看作恒定的，电子做类平抛运动，离开电场后做匀速直线运动，当偏转电压最大时粒子能打在屏上则所有电子都可以打在屏上，此时电场中偏转距离等于$\frac{1}{2}d$．根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解电压的最大值U₂需要满足的条件；

解答 解：电子在加速电场中运动，据动能定理有：
   $e{U_1}=\frac{1}{2}mv_1^2$，得 ${v_1}=\sqrt{\frac{{2e{U_1}}}{m}}$．
因为每个电子在板A、B间运动时，电场可看作恒定的，故电子在板A、B间做类平抛运动，在两板之外做匀速直线运动打在屏上．
在板A、B间沿水平方向运动时有 l=v_lt   
竖直方向有 y′=$\frac{1}{2}$at²，且a=$\frac{e{U}_{2}}{md}$ 
联立解得电子通过电场后偏转距离为  y′=$\frac{e{U}_{2}{l}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$ 
设偏转电压最大值为U_m，则 y_m′=$\frac{e{U}_{m}{l}^{2}}{2md{v}_{1}^{2}}$=$\frac{d}{2}$ 
得 U_m=$\frac{2{d}^{2}{U}_{1}}{{l}^{2}}$
电子离开偏转电场时，沿电场线方向的分速度v_y，则：$y′=\frac{{v}_{y}}{2}•t$
电子离开电场时的偏转角θ：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{1}}=\frac{{v}_{y}t}{{v}_{1}t}=\frac{2y′}{l}=\frac{d}{l}$=$\frac{1}{4}$
电子在电场外偏转的距离：$y″=L•tanθ=8cm×\frac{1}{4}=2$cm
所以电子到达荧光屏时的总偏转：$y={y}_{m}′+y″=\frac{1}{2}+2=2.5cm≤10cm=\frac{D}{2}$
所以只要满足：U_m≤$\frac{2{d}^{2}{U}_{1}}{{l}^{2}}$就可以使电子都能打在荧光屏上．
代入数据得：U_m≤25V
答：使电子都能打在荧光屏上，U₂的最大值U是25V．

点评 带电粒子在电场中的运动，在近几年高考考查中频率较高，多次出现带电粒子在交变电场中运动的题目，纵观这些题目，所涉及的情景基本相同，但命题往往拟定不同的题设条件，多角度提出问题，多层次考查能力．解决这类问题要从受力分析入手，分清各个物理过程，弄清带电粒子运动情境，应用力学规律，借助图象，定性分析、定量讨论，并注意思维方法和技巧的灵活运用．