Question

3．如图所示，在x≥0的区域内存在与x0y平面垂直的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里．假设一束初速度为零的质量为m、带电荷量为q的正离子，经过加速电场加速后从O点沿x轴正方向进入匀强磁场区域．有一块厚度不计、高度为d的金属板竖直放置在磁场中，截面如图，M、N分别为金属板截面的上、下端点，M点的坐标为（d，2d），N点的坐标为（d，d）．正离子的重力不计．
（1）加速电场的电压在什么范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上？
（2）求打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析 求出恰好打到N点时的半径，在求出恰好打到M点的半径，中间的数据就是所求的电压范围；分别求出打到M点时的最长时间和打到N点时的最短时间，然后求比值即可．

解答 解：（1）设加速电压为U，正离子初速度为零，经过加速电场加速，根据动能定理得：
qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
正离子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力：
qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$
R=$\frac{\sqrt{2mqU}}{qB}$
当加速电压较小时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较小，当离子恰好打到金属板下端点N点时，圆周运动的半径最小为R_min，如图1
根据几何知识可以判断R_min=d
故：U_min=$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$
当加速电压较大时，离子在磁场中做匀速圆周运动的半径较大，当离子恰好打到金属板上端点M点时，圆周运动的半径最大为Rmax，如图2
根据几何知识判断：R_max²=d²+（2d-R_min）²
解得R_max=$\frac{5}{4}$d
所以U_max=$\frac{25q{B}^{2}{d}^{2}}{32m}$
所以离子能全部打在金属板上，加速电压的取值范围为：$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}{d}^{2}}{32m}$
（2）设离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T，根据圆周运动规律得：
T=$\frac{2πR}{v}$…①
又qvB=$\frac{m{v}^{2}}{R}$…②
联立①②解得T=$\frac{2πm}{qB}$
离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与加速电压无关．
离子在图1中所示的轨迹中运动时间最短为
t_min=$\frac{1}{4}$T
离子在图2所示的轨迹中运动时间最长为：
t_max=$\frac{90°+θ}{360°}$
根据几何知识：cosθ=$\frac{d}{{r}_{max}}=\frac{4}{5}$
则：θ=37°
所以$\frac{{t}_{min}}{{t}_{max}}=\frac{90}{127}$
答：（1）加速电场的电压在为：$\frac{q{B}^{2}{d}^{2}}{2m}$≤U≤$\frac{25q{B}^{2}{d}^{2}}{32m}$范围内，进入磁场的离子才能全部打在金属板上，
（2）打在金属板上的离子在磁场中运动的最短时间与最长时间的比值为$\frac{90}{127}$．

点评 此题考查离子在匀强磁场中的运动情况，属于高考常见题目，要加强联系，难度适中．