Question

17．如图所示，已知半径分别为R和r（R＞r）的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，甲轨道左侧又连接一个光滑的轨道，两圆形轨道之间由一条水平轨道CD相连．一小球自某一高度由静止滑下，先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为μ的CD段，又滑上乙轨道，最后离开圆轨道．若小球在两圆轨道的最高点对轨道压力都恰好为零．试求：
（1）小球分别经过C、D时的速度V_C和V_D的大小；
（2）小球由静止释放时的高度h；
（3）水平CD段的长度l．

Answer 1

分析 （1）小球滚到两圆轨道最高点均仅受重力，运用向心力公式可求出在其位置的速度；
（2）因为轨道光滑，则由机械能守恒定律可求出轨道最低点速度，从而也求出释放的高度；
（3）由于CD段粗糙，不能运用机械守恒定律，选用动能定理，就可算出长度．

解答 解：（1）小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒，设小球滑过C点时的速度为v_c，通过甲环最高点速度为v′，
根据小球对最高点压力为零，有：mg=$\frac{{v}^{′2}}{R}$   ①
取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv_C²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv^′2  ②
由①、②两式消去v′，可得v_C=$\sqrt{5gR}$　　　　　　　    ③
同理可得小球滑过D点时的速度v_D=$\sqrt{5gr}$　　　　　　　 ④
所以小球经过C点的速度为$\sqrt{5gR}$； 经过D点的速度为$\sqrt{5gr}$．
（2）小球从在甲轨道左侧光滑轨道滑至C点时机械能守恒，有：mgh=$\frac{1}{2}$mv_C²　          ⑤
由③、⑤两式联立解得  h=2.5R
（3）设CD段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理可得：-μmgl=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv_C²   ⑥
由③、④、⑥三式联立解得l=$\frac{5（R-r）}{2μ}$
答：（1）小球经过C点的速度为$\sqrt{5gR}$； 经过D点的速度为$\sqrt{5gr}$；
（2）小球由静止释放时的高度为2.5R；
（3）水平CD段的长度为$\frac{5（R-r）}{2μ}$．

点评 掌握向心力公式外，还熟悉了牛顿第二定律，最后比较了机械能守恒定律与动能定理的优缺点．本题中小球在轨道最高点压力为零是解题的切入点．