Question

我国将上演现代版“嫦娥奔月”，届时“嫦娥号”飞船将进入绕月飞行的圆形轨道a，当飞船运行至A点时启动登月舱进入椭圆轨道b，到B点实现着陆．（椭圆轨道的一个焦点在月球中心，A、B分别为与轨道a和月球表面相切点），已知月球质量为M，半径为R，轨道a半径为r，万有引力常量为G．试求：
①飞船绕月飞行的周期T
②登月舱由轨迹a，进入轨迹b时在A点应启动发动机，向前喷气还是向后喷气？
③由A至B的时间t．

Answer 1

分析：1、根据万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r，化简可得周期．
2、发动机要向前喷气，使其减速，做近心运动，才能降低轨道．
3、根据开普勒第三定律：

r3

T2

=k，代入数据计算椭圆轨道的周期，AB的时间为周期的一半．

解答：解：①由万有引力提供向心力G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
∴T=

4πr3 GM

②登月舱由轨迹a，进入轨迹b时，要减速做近心运动，故要向前喷气，使其速度减小．    
③椭圆轨道半长轴：r′=

R+r

2

由开普勒第三定律：

r′3

T′2

=

r3

T2

登月舱由A→B的时间：t=

T′

2

=

1

2

r′3 r3

T=

π

2

(R+r)3 2GM

答：①飞船绕月飞行的周期T为2π

r3 GM

．
②登月舱由轨迹a，进入轨迹b时在A点应启动发动机，向前喷气．
③由A至B的时间t为

π

2

(R+r)3 2GM

．

点评：本题的难点是计算椭圆轨道的周期，采用开普勒第三定律是要注意，对于椭圆轨道r为半长轴，对于圆轨道r为圆轨道半径．