Question

（2013?黄冈一模）我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是：着陆器离月面h高时速度减小为零，为防止发动机将月面上的尘埃吹起，此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆．已知地球质量是月球质量的81倍，地球半径是月球半径的4倍，地球半径

R

0

=6.4×1

0

6

m，地球表面的重力加速度

g

0

=10 m/

s

2

．不计月球自转的影响（结果保留两位有效数字）．
（1）若题中h=3.2m，求着陆器落到月面时的速度大小；
（2）由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能．理论证明，若取离月心无穷远处为引力势能的零势点，距离月心为r的物体的引力势能

E

p

=-G

Mm

r

，式中G为万有引力常数，M为月球的质量，m为物体的质量．求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度．

Answer 1

分析：（1）着陆器做近似地球表面的自由落体运动，由自由落体规律求解着地速度
（2）着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围，根据机械能守恒定律求解初速度

解答：解：（1）着陆器做近似地球表面的自由落体运动，设着陆器落到月面时的速度大小为v，月球表面物体自由下落加速度为g，故：
v²=2gh①
设月球质量为M，半径为R，忽略月球自转，在月球表面附近质量为m的物体满足：

GMm

R2

=mg②
同理，设地球质量为M₀，半径为R₀，有：

GM0m

R 2 0

=mg0③
由①②③整理得，v=

2g0h MR 2 0 M0R2

=

2×10×3.2× 1×42 81×12

m/s=3.56m/s
设着陆器至少以速度v₀起飞方可冲出月球引力场，则由能量关系得：

1

2

mv

2 0

-

GMm

R

=0
由①②④并代入数据得：v₀=2.5×10³m/s
答：（1）着陆器落到月面时的速度大小为3.56m/s
（2）着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引力范围所需的最小速度为2.5×10³m/s

点评：在月球表面的运动类比地球表面的自由落体运动，对于只有保守力做功的情形，注意题应用守恒的观点解决问题