Question

6．如图所示是一个半径为R的$\frac{1}{4}$圆柱体棱镜的截面图，棱镜的直角边紧贴在x、y轴上．一束细光线平行于x轴从P点射入圆柱形棱镜中，投射到N点，经棱镜折射后从x轴上的Q点穿过，P点到圆心O的距离是$\frac{R}{2}$，O点到圆心O的距离是$\sqrt{3R}$，求：
（1）圆柱体棱镜的折射率n？
（2）棱镜固定不动，将细光线逐渐向上移动了（始终平行于x轴）△y时，棱镜右侧的折射光线刚好消失，求△y？

Answer 1

分析 （1）结合光路图，由几何知识求出入射角和折射角，再由折射定律求折射率n．
（2）光线恰好发生全反射时棱镜右侧的折射光线刚好消失，由临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$和几何知识结合求解．

解答 解：（1）如右图所示，入射角为i，折射角为r．
由△PNO：$sini=\frac{R}{2R}$=0.5，得 i=30°…①
由△ONM：θ=60°，OM=Rsin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$
所以：MQ=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$，∠MNQ=60°，r=60°…②
光由光密介到光疏介质折射，则：$n=\frac{sinr}{sini}$=$\frac{sin60°}{sin30°}$=$\sqrt{3}$…③
（2）设光线向上移动到N'时折射光线消失，发生全反射．
临界角为C：$sinC=\frac{1}{n}$…④
由△OP'N'：$△y=RsinC-\frac{R}{2}$…⑤
得到：$△y=（\frac{{\sqrt{3}}}{3}-\frac{1}{2}）R$≈0.08R
答：
（1）圆柱体棱镜的折射率n是$\sqrt{3}$．
（2）△y是0.08R．

点评 本题的关键是作出光路图，运用几何知识辅助分析，结合折射定律进行求解．