Question

13．如图所示，AB、CD是两条颜色不同的平行光线，垂直直径射入一块半径为R的透明玻璃半球，B、D是直径上的两点，经过玻璃半球折射后，交于P点，已知BO=0.6R，DO=0.8R，OP垂直BD，OP=2R．则该半球形玻璃的对这两种光线的折射率之比是多少？（可以用根式表示）

Answer 1

分析 根据数学知识求出入射角和折射角的正弦，再由折射定律求出折射率．即可求得折射率之比．

解答 解：如图所示．根据数学知识得：
 sini=$\frac{OB}{R}$=0.6，cosi=0.8
 EP=OP-$\sqrt{{R}^{2}-（0.6R）^{2}}$=2R-0.8R=1.2R 
sin∠1=$\frac{OB}{\sqrt{（0.6R）^{2}+（1.2R）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，cos∠1=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
sinr=sin（∠1+i）=sin∠1cosi+cos∠1sini=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
则玻璃对左侧光线的折射率为：n₁=$\frac{sinr}{sini}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$
同理可得：sinα=0.8，cosα=0.6
 FP=1.4R
 sin∠2=$\frac{4}{\sqrt{63}}$，cos∠2=$\frac{7}{\sqrt{63}}$
sinβ=sin（∠2+α）=sin∠2cosα+cos∠2sinα=$\frac{\sqrt{63}}{9}$
则玻璃对右侧光线的折射率为：n₂=$\frac{sinβ}{sinα}$=$\frac{\sqrt{63}}{7.2}$
故该半球形玻璃的对这两种光线的折射率之比 n₁：n₂=24：$\sqrt{315}$
答：该半球形玻璃的对这两种光线的折射率之比为24：$\sqrt{315}$．

点评 本题是几何光学问题，关键是运用几何知识求解入射角和折射角的正弦值，再由折射定律研究折射率的关系．