题目内容

2．如图，一水平圆盘绕过圆心的竖直轴转动，圆盘边缘有一质量m=1.0kg的小滑块．当圆盘运动的角速度达到某一数值时，滑块从圆盘边缘滑落，经光滑的过渡圆管进入轨道ABC，已知AB段斜面倾角为53°，BC段斜面倾角为37°，滑块与圆盘及斜面间的动摩擦因数均μ=0.5，圆盘半径R=0.2m，A点离B点所在水平的高度h=1.2m，滑块在运动过程中始终未脱离轨道，不计在过渡圆管处和B点处的机械能损失，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，g=10m/s2，sin37°=0.6；　cos37°=0.8，求：
（1）当圆盘角速度多大时，滑块从圆盘上滑落？
（2）从静止起到滑块滑离圆盘过程中，摩擦力对滑块做的功；
（3）若取圆盘所在平面为零势能面，求滑块到达B点时的机械能；
（4）滑块到达B点时起在BC面上滑动，经过多长时间在BC面上再次返回B点？

分析 （1）滑块做匀速圆周运动，由指向圆心的静摩擦力提供向心力，静摩擦力随着外力的增大而增大，当滑块即将从圆盘上滑落时，静摩擦力达到最大值，根据最大静摩擦力等于向心力列式求解，可以求出滑块即将滑落的临界角速度；
（2）从静止起到滑块滑离圆盘过程中，根据动能定理求摩擦力对滑块做的功；
（3）先根据机械能的表达式求解出B点的速度，进而求出在B点时的机械能；
（4）对滑块受力分析，分别求出向上滑行和向下滑行的加速度，然后根据运动学位移公式求出时间．

解答 解：（1）滑块在圆盘上做圆周运动时，由静摩擦力充当向心力，当静摩擦力达到最大时滑块开始从圆盘上滑落，根据牛顿第二定律，可得：
    μmg=mω2R
得：ω=$\sqrt{\frac{μg}{R}}$=$\sqrt{\frac{0.5×10}{0.2}}$=5rad/s
（2）滑块在A点时的速度：vA=ωR=5×0.2=1m/s
从静止起到滑块滑离圆盘过程中，根据动能定理得：
摩擦力对滑块做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{1}^{2}$=0.5J
（3）滑块在从A到B的运动过程中，由动能定理得：
   mgh-μmgcos53°•$\frac{h}{sin53°}$=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}$mvA2 
解得：vB=4m/s     
在B点时的机械能 EB=$\frac{1}{2}$mvB2-mghB=$\frac{1}{2}×1×{4}^{2}$-10×1.2=-4J
（4）滑块沿BC段向上运动时的加速度大小：a1=g（sin37°+μcos37°）=10m/s2
滑块沿BC段向上运动的时间：t1=$\frac{{v}_{B}}{{a}_{1}}$=0.4s
上滑的位移大小为 x1=$\frac{1}{2}{v}_{B}{t}_{1}$=$\frac{1}{2}×4×0.4m$=0.8m
滑块返回时的加速度大小：a2=g（sin37°-μcos37°）=2m/s2    
由 x2=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，且x2=x1
解得 t2=$\sqrt{0.8}$s
故总时间为 t=t1+t2=$\frac{2}{5}$（$\sqrt{5}$+1）s
答：
（1）当圆盘角速度是5rad/s时，滑块从圆盘上滑落．
（2）从静止起到滑块滑离圆盘过程中，摩擦力对滑块做的功是0.5J；
（3）若取圆盘所在平面为零势能面，滑块到达B点时的机械能是-4J；
（4）滑块到达B点时起在BC面上滑动，经过$\frac{2}{5}$（$\sqrt{5}$+1）s时间在BC面上再次返回B点．

点评 本题关键把物体的各个运动过程的受力情况和运动情况分析清楚，把握临界条件，然后结合动能定理、牛顿第二定律和运动学公式求解．

练习册系列答案
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