题目内容

5．如图所示，在竖直平面内有宽度为L足够长的金属导轨，导轨间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B0，导轨上有一导体棒在外力作用下以速度v0向左匀速运动；P、Q为竖直平面内两平行金属板，分别用导线和M、N相连，P、Q板长为d，间距也为d，P、Q板间虚线右侧为垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现有一电量为q的带正电小球，从P、Q左边界的中点水平射入，进入磁场后做匀速圆周运动，重力加速度取g．求：

（1）带电小球的质量m；
（2）能够打在P板上的带电小球在磁场中运动的最短时间；
（3）能够打在P板上的带电小球速度v的取值范围．

分析 （1）小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力必须平衡，列出平衡方程．PQ间的电压等于导体棒产生的感应电动势，由U=B0Lv0求出．再结合板间场强与电压的关系U=Ed，即可求得小球的质量m．
（2）如图，圆心为O2的轨迹对应在磁场中运动时间最短，为$\frac{T}{4}$．根据牛顿第二定律和圆周运动的规律结合求得粒子运动的周期T，即可解得．
（3）如图，能打在P板上的两个临界轨迹分别为圆O1和圆O2．由几何知识求得它们对应的轨迹半径，由r=$\frac{mv}{qB}$求出粒子对应的速度，即可得到速度范围．

解答  解：（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，电场力与重力必须平衡，有
  qE=mg  ①
P、Q两板间的电压 U=Ed ②
导体棒在MN导轨上做切割磁感线运动，由法拉第电磁感应定律有
  U=B0Lv0 ③
联立解得 m=$\frac{q{B}_{0}L{v}_{0}}{gd}$ ④
（2）如图，圆心为O2的轨迹对应在磁场中运动时间最短，为：
  tmin=$\frac{T}{4}$ ⑤
又 T=$\frac{2πr}{v}$ ⑥
小球在磁场中做匀速圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，有
  qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$  ⑦
联立得 tmin=$\frac{πL{B}_{0}{v}_{0}}{2Bgd}$ ⑧
（3）如图，能打在P板上的两个临界轨迹分别为圆O1和圆O2．
由几何知识得它们对应的轨迹半径分别为 r1=$\frac{d}{4}$，r2=$\frac{d}{2}$ ⑨
由⑦知：r=$\frac{mv}{qB}$ （10）
联立得：v1=$\frac{Bd}{4{B}_{0}L{v}_{0}}$，v2=$\frac{Bd}{2{B}_{0}L{v}_{0}}$ （11）
故能够打在P板上的带电小球速度v的取值范围为：$\frac{Bd}{4{B}_{0}L{v}_{0}}$≤v≤$\frac{Bd}{2{B}_{0}L{v}_{0}}$．（12）
答：（1）带电小球的质量m为$\frac{q{B}_{0}L{v}_{0}}{gd}$；
（2）能够打在P板上的带电小球在磁场中运动的最短时间为$\frac{πL{B}_{0}{v}_{0}}{2Bgd}$；
（3）能够打在P板上的带电小球速度v的取值范围为：$\frac{Bd}{4{B}_{0}L{v}_{0}}$≤v≤$\frac{Bd}{2{B}_{0}L{v}_{0}}$．

点评 本题中导体棒相当于电源，此题就是一个带电粒子在磁场中运动的问题，关键要定圆心、找半径，画出粒子运动的轨迹，由几何知识求轨迹的半径和圆心角．

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