题目内容
如图所示，在y轴右侧平面内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B=0.5T，坐标原点o有一放射源，可以向y轴右侧平面沿各个方向放射比荷为
Kg/C的正离子，这些离子速率分别在从0到最大值
m/s的范围内，不计离子之间的相互作用．（1）求离子打到y轴上的范围
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，求经过
s时这些离子所在位置构成的曲线方程（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，求经过
时已进入磁场的离子可能出现的区域面积．
【答案】分析：（1）离子进入磁场中由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动，由牛顿第二定律求出最大的半径，由几何知识分析得到，离子打到y轴上离O点最远距离等于直径．
（2）求出离子运动的周期，根据时间与周期的关系，确定出这些离子轨迹所对应的圆心角，运用参数方程求解这些离子所在位置构成的曲线方程．
（3）根据几何知识作出离子可能到达的位置，求出面积．
解答：
解：（1）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R
由牛顿第二定律得：
解得：
m
由几何关系知，离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）离子在磁场中运动的周期为T，
则
s
t时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ
则
这些离子构成的曲线如图1所示，并令某一离子在此时刻的坐标为（x，y）
则 x=rsinθ，
y=r（1-cosθ）
代入数据并化简得：
（
）
（3）将第（2）问中图2中的OA段从沿y轴方向顺时针方向旋转，在x轴上找一点C，以R为半径作圆弧，相交于B，则两圆弧及y轴所围成的面积即为在t=0向y轴右侧各个方向不断放射各种速度的离子在
时已进入磁场的离子所在区域．
由几何关系可求得此面积为：
．
则：
答：
（1）离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，经过
s时这些离子所在位置构成的曲线方程是
（
）．
（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，经过
时已进入磁场的离子可能出现的区域面积是
．
点评：本题考查运用数学知识分析和解决物理问题的能力，采用参数方程的方法求解轨迹方程，根据几何知识确定出离子可能出现的区域，难度较大．
（2）求出离子运动的周期，根据时间与周期的关系，确定出这些离子轨迹所对应的圆心角，运用参数方程求解这些离子所在位置构成的曲线方程．
（3）根据几何知识作出离子可能到达的位置，求出面积．
解答：
解：（1）离子进入磁场中做圆周运动的最大半径为R由牛顿第二定律得：
解得：
m由几何关系知，离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）离子在磁场中运动的周期为T，
则
st时刻时，这些离子轨迹所对应的圆心角为θ
则
这些离子构成的曲线如图1所示，并令某一离子在此时刻的坐标为（x，y）
则 x=rsinθ，
y=r（1-cosθ）
代入数据并化简得：
（）（3）将第（2）问中图2中的OA段从沿y轴方向顺时针方向旋转，在x轴上找一点C，以R为半径作圆弧，相交于B，则两圆弧及y轴所围成的面积即为在t=0向y轴右侧各个方向不断放射各种速度的离子在
时已进入磁场的离子所在区域．由几何关系可求得此面积为：
．则：
答：
（1）离子打到y轴上的范围为0到2m．
（2）若在某时刻沿+x方向放射各种速率的离子，经过
s时这些离子所在位置构成的曲线方程是（）．（3）若从某时刻开始向y轴右侧各个方向放射各种速率的离子，经过
时已进入磁场的离子可能出现的区域面积是．点评：本题考查运用数学知识分析和解决物理问题的能力，采用参数方程的方法求解轨迹方程，根据几何知识确定出离子可能出现的区域，难度较大．
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＝4×106C／kg的正离子，这些正离子的速率分别在0到2×106m／s的范围内，不计离子的重力及它们之间的相互作用。
×10－7s时这些离子所在位置构成的曲线方程。