Question

宇宙中两个相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，而不致因万有引力的作用吸引到一起．设二者质量分别为m₁和m₂，二者相距L，万有引力常数为G，
（1）试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都与它们的质量成反比；
（2）试写出它们的角速度的表达式．

Answer 1

分析：“双星”围绕它们连线上的同一点为圆心做匀速圆周运动，运动过程中两者的周期、角速度相同，由对方的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律分别对两星进行列方程求解．

解答：解：（1）根据万有引力提供向心力得：

Gm1m2

L2

=m1R1ω2

Gm1m2

L2

=m2R2ω2
得

R1

R2

=

m2

m1

又∵v=ωR
∴

v1

v2

=

m2

m1

（2）由

Gm1m2

L2

=m1R1ω2和

Gm1m2

L2

=m2R2ω2
且R₁+R₂=L
得ω=

G(m1+m2) L3

答：（1）它们的轨道半径之比、线速度之比都与它们的质量成反比，证明如上；
（2）它们的角速度的表达式是ω=

G(m1+m2) L3

．

点评：“双星”是万有引力部分常见的题型，关键抓住“双星”的条件：角速度相同、周期相同，采用隔离法由牛顿第二定律研究．