Question

如图所示，竖直放置的光滑半圆形轨道与光滑水平面AB相切于B点，半圆形轨道的最高点为C．轻弹簧一端固定在竖直挡板上，另一端有一质量为0.1kg的小球（小球与弹簧不相连）．用力将小球向左推，小球将弹簧压缩一定量时用细绳固定住．此时弹簧的弹性势能为4.05J．烧断细绳，弹簧将小球弹出．取g=10m/s²，求
（1）欲使小球能通过最高点C，则半圈形轨道的半径最大为多少？
（2）欲使小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离最大，则半圆形轨道的半径为多大？落点至B点的最大距离为多少？

Answer 1

（1）弹簧释放过程，由EP=

1

2

m

v

21

…得 v₁=

2EP m

=9m/s
B到C的运动过程中，由机械能守恒得

1

2

m

v

21

=mg(2r)+

1

2

m

v

22

…
在C点有  mg+N=m

v 22

r

…
由N≥0
得r≤

81

50

m…
得rm=

81

50

=1.62m…
（2）小球做平抛运动过程，y=

1

2

gt2=2r…x=v₃t
由系统机械能守恒得  EP=mg(2r)+

1

2

m

v

23

…
由以上得x=

(8.1-4r)4r

…
根据数学知识得：当（8.1-4r）=4r时，x有极值
即r=

8.1

8

=1.01m时              
得 x_m=4r=4.04m
答：
（1）欲使小球能通过最高点C，则半圈形轨道的半径最大为1.62m．
（2）欲使小球通过最高点C后落到水平面上的水平距离最大，则半圆形轨道的半径为1.01m，落点至B点的最大距离为4.04m．