Question

如图所示，长度为L的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球．当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上．
（1）当球以角速度ω₁=

g L

做圆锥摆运动时，水平面受到的压力N是多大？
（2）当球以角速度ω₁=

4g L

做圆锥摆运动时，细绳的张力T为多大？

Answer 1

分析：（1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解支持力，再由牛顿第三定律求出水平面受到的压力N．
（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω=

4g L

与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解细绳的张力T．

解答：解：设小球做圆锥摆运动的角速度为ω₀时，小球对光滑水平面的压力恰好为零，此时球受重力mg和绳的拉力T₀，应用正交分解法则列出方程：
  T₀sinθ=m

ω

2 0

Lsinθ    ①
  T₀cosθ-mg=0    ②
由以上二式解得：ω₀=

2g L

  ③
（1）∵ω₁＜ω₀时，所以小球受重力mg，绳的拉力T和水平面的支持力N，应用正交分解法列方程：
  Tsinθ=mω

2 1

Lsinθ    ④
   Tcosθ+N-mg=0     ⑤
解得：T=mg，N=

mg

2

（2）∵ω₂＞ω₀时，小球离开水平面做圆锥摆运动，设细绳与竖直线的夹角为α，由于球已离开水平面，所以球对水平面的压力N′=0．小球受重力mg和细绳的拉力T′，应用正交分解法列方程：
 T′sinθ=mω

2 2

Lsinθ ⑥
 T′cosθ-mg=0   ⑦
解得：cosθ=

1

4

，T′=

mg

cosα

=4mg，
答：（1）当球以角速度ω₁=

g L

做圆锥摆运动时，水平面受到的压力N是

mg

2

．（2）当球以角速度ω₁=

4g L

做圆锥摆运动时，细绳的张力T为4mg．

点评：本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应用．