Question

如图所示，在真空中半径r=3.0×10^-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2T，方向如图的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度v₀=1.0×10⁶m/s，从磁场边界上直径ab的a端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向，若该束粒子的比荷

q

m

=1.0×108C/kg，不计粒子重力．求：
（1）粒子在磁场中运动的最长时间．
（2）若射入磁场的速度改为v=3.0×10⁵m/s，其他条件不变，求磁场边界上有粒子击中的弧长．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

Answer 1

分析：①首先做出轨迹图，利用几何关系判断出当弦长为多少时运动时间最长，从而可以计算出粒子在磁场中运行的最长时间．
②由确定的速度先求出粒子在磁场中的运动半径，利用几何关系判断出粒子射出磁场的区域，从而计算粒子射出区域弧长．

解答：解：
①、由洛伦兹力提供向心力得：

mv02

R

=Bqv0
解得：R=

mv0

Bq

=0.05m＞r
故以ab为弦长的圆弧对应运动时间最长．
由图可知：
sinθ=

r

R

=

3

5

∴θ=37°
∴t=

2θ

360°

×

2πm

Bq

=6.45×10-8s
②、若速率v=3.0×10⁵m/s．则
R′=

mv

Bq

=0.015m，
由图可知有粒子可击中的边界弧长为

ac

，由几何关系可知弧长为

ac

所对应的圆心角为60°

ac

=

60

360

×2πr=3.14×10-2m
答：（1）粒子在磁场中运动的最长时间为6.45×10^-8s．
（2）磁场边界上有粒子击中的弧长为3.14×10^-2m．

点评：解决带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动问题时，应首先确定圆心的位置，找出半径，做好草图，利用数学几何并结合运动规律进行求解．
（1）圆心的确定：因洛伦兹力始终指向圆心，根据洛伦兹力的方向与速度的方向垂直，画出粒子运动轨迹中的任意两点（一般是射入和射出磁场的两点）的洛伦兹力的方向，其延长线的交点即为圆心．
（2）半径的确定和计算，半径的计算一般是利用几何知识，常用解三角形的方法．
（3）在磁场中运动时间的确定，由求出t，t=

θ

2π

T（θ为弧度）或t=

θ

360°

T（θ为度数）；应注意速度矢量转过的角度θ，就是圆半径转过的角度，以及弦切角与圆心角的关系．