Question

3．如图所示，皮带轮带动传送带沿逆时针方向以速度v₀=2m/s匀速运动，两皮带轮之间的距离L=3.2m，皮带绷紧与水平方向的夹角θ=37°．将一可视为质点的小物块无初速地从上端放到传送带上，已知物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.5（sin37°=0.6，cos37°=0.8，取g=10m/s²）求：
（1）滑块加速到与传送带速度相等所用时间
（2）滑块从开始运动到下端离开的总时间
（3）滑块从开始运动到下端离开，与传送带的相对位移．

Answer 1

分析 （1）传送带沿逆时针方向匀速运动，滑块无初速地从上端放到传送带上后受到沿斜面向下的滑动摩擦力，做匀加速直线运动，最终和传送带速度相等，根据牛顿第二定律求得加速度，再由速度公式求滑块加速到与传送带速度相等所用时间．
（2）进而可以求得滑块匀加速运动的位移．根据共速瞬间滑块重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的关系，判断之后滑块的运动情况，再由牛顿第二定律和位移公式结合求继续运动的时间，从而求得总时间．
（3）根据时间和传送带的速度求出传送带的位移，物体与传送带的相对位移等于两者对地位移之差．

解答 解：（1）滑块无初速地从上端放到传送带上后，对物块受力分析有：

则有牛顿第二定律：mgsinθ+f=ma
又：f=μmgcosθ
解得：a=10m/s²
物块和皮带速度相等时，有 v₀=at
解得：t=0.2s
（2）滑块加速到与传送带速度相等时，滑块的位移为：
  x₁=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{2}{2}×0.2m$=0.2m＜L=3.2m
由于mgsinθ＞μmgcosθ，所以滑块与传送带共速后继续向下匀加速运动．
根据牛顿第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma′
且有   L-x₁=v₀t′+$\frac{1}{2}$at′²；
联立解得：t′=1s
故滑块从开始运动到下端离开的总时间为 t_总=t+t′=1.2s
（3）第一个过程中皮带的位移为：
    s₁=v₀t=2×0.2m=0.4m
物体与传送带的相对运动位移为：
△x₁=s₁-x₁=0.4m-0.2m=0.2m
第二个过程中传送带的位移为：
  s₂=v₀ t′=2×1m=2m
物块与传送带的相对位移为：
△x₂=（L-x₁）-s₂=3.2m-0.4m-2m=0.8m
故滑块从开始运动到下端离开，与传送带的相对位移为：
△x=△x₂-△x₁=0.8m-0.2m=0.6m
答：
（1）滑块加速到与传送带速度相等所用时间是0.2s．
（2）滑块从开始运动到下端离开的总时间是1.2s．
（3）滑块从开始运动到下端离开，与传送带的相对位移是0.6m．

点评 解决本题的关键会根据受力判断物体的运动情况，特别是分析共速后物体的运动情况，不能简单地认为共速后两者一起匀速运动．要注意相对位移的方向．