Question

12．如图所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F，如果在球体中央挖去半径为r的一部分球体，且r=$\frac{R}{2}$，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为多少？

Answer 1

分析 先根据体积公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$得到挖去部分和原来球体的体积关系，根据m=ρV得到质量关系；然后设想先将球补上，万有引力为两个部分的引力之和．

解答 解：设球体质量为M，质点P的质量为m，质点P与球心间距为L；
在球体中央挖去半径为$\frac{R}{2}$的一部分球体，根据体积公式V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$，挖去部分的体积为原来体积的$\frac{1}{8}$，故挖去质量为总质量的$\frac{1}{8}$；
设想先将球补上，万有引力为：
F=G$\frac{Mm}{{L}^{2}}$        ①
该引力为两个部分的万有引力之和，故为：
F=G$\frac{（\frac{1}{8}M）m}{{L}^{2}}$+F′②
联立解得：
F′=$\frac{7}{8}F$
答：原球体剩余部分对质点P的万有引力变为$\frac{7}{8}F$．

点评 本题关键是明确万有引力定律的适用条件，然后将球对质点P的引力看作是各个部分对P的引力的矢量和，结合万有引力定律列式求解即可．