Question

17．如图所示，光滑足够长导轨倾斜放置，导轨间距为L=1m，导轨平面与水平面夹角为θ=30°，其下端连接一个灯泡，灯泡电阻为R=3Ω，导体棒ab垂直于导轨放置，除灯泡外其它电阻不计．两导轨间的匀强磁场的磁感应强度为B=$\sqrt{5}$T，方向垂直于导轨所在平面向上．将导体棒从静止释放，当导体棒的速度v=2.4m/s时通过灯泡电量q=0.9$\sqrt{5}$C．随着导体棒的下滑，最终稳定速度v_max=3m/s．（g=10m/s²）
求：（1）导体棒的质量m；
（2）当导体棒速度为v=2.4m/s时，灯泡产生的热量Q；
（3）为了提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率，试通过计算提出两条可行的措施．

Answer 1

分析 （1）导体棒最终匀速运动时达到稳定状态，根据法拉第电磁感应定律、欧姆定律和平衡条件结合，可求出导体棒的质量m．
（2）由通过灯泡的电量与下滑距离的关系，求出导体棒下滑的距离x，再由能量守恒求解灯泡产生的热量．
（3）根据最大功率表达式和最大速度表达式结合列式，分析提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡功率的措施．

解答 解：（1）导体棒运动最大速度v_m=3m/s．此时导体棒匀速运动，则有
  mgsinθ=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$   
化简得 m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{gRsinθ}$=$\frac{（\sqrt{5}）^{2}×{1}^{2}×3}{10×3×sin30°}$=1kg
（2）设导体棒下滑距离为x时速度为v=2.4m/s，在此过程中通过灯泡的电量
  q=$\frac{BL\overline{v}}{R}t$=$\frac{BLx}{R}$
根据能量守恒定律得：
  mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$   
代入数据化简得 Q=10.62J
（3）小灯泡的最大功率为 P=$\frac{（BL{v}_{m}）^{2}}{R}$  
此时又有 mgsinθ=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$   
化简得 P=$\frac{（mgsinθ）^{2}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
因此，提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率的措施有：增大导体棒的质量、增加导轨平面的倾角、换电阻较大的灯泡、减小磁场、减小导轨间距离．
答：
（1）导体棒的质量m为1kg；
（2）当导体棒速度为v=2.4m/s时，灯泡产生的热量Q为10.62J；
（3）为了提高ab棒下滑到稳定状态时小灯泡的功率，措施有：增大导体棒的质量、增加导轨平面的倾角、换电阻较大的灯泡、减小磁场、减小导轨间距离．

点评 本题的突破口是：导体棒稳定时即速度最大时，导体棒做匀速直线运动，重力沿斜面向下的分力与安培力平衡，同时，要正确分析能量是如何转化的，从力和能量两个角度研究．