Question

（2009?宁波模拟）如图，阻值不计的光滑金属导轨MN和PQ 水平放置，其最右端间距d为1m，左端MP接有阻值r为4Ω的电阻，右端NQ与半径R为2m的光滑竖直半圆形绝缘导轨平滑连接；一根阻值不计的长为 L=l.2m，质量 m=0.5kg 的金属杆 ab 放在导轨的 EF 处，EF 与MP平行．在平面NQDC的左侧空间中存在竖直向下的匀强磁场 B，平面NQDC的右侧空间中无磁场．现杆 ab 以初速度V₀=12m/s 向右在水平轨道上做匀减速运动，进入半圆形导轨后恰能通过最高位置 CD 并恰又落到 EF 位置；（g取10m/s² ） 求：
（l）杆ab刚进入半圆形导轨时，对导轨的压力；
（2）EF到QN的距离；
（3）磁感应强度B的大小．

Answer 1

分析：（1）金属杆ab恰能通过最高位置CD时，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律可求出经过最高点的速度．棒从NQ到最高点的过程机械能守恒，则可求出棒通过NQ时的速度．棒经NQ时，由重力和轨道的支持力提供其向心力，由牛顿运动定律求出杆ab刚进入半圆形导轨时对导轨的压力；
（2）ab 离开半圆形导轨后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由下落的高度为2R和最高点的速度结合可求出EF到NQ的距离；
（3）杆 ab 做匀减速运动，由运动学公式、牛顿第二定律和安培力结合可求得B．

解答：解：（ 1 ）设杆ab刚进入半圆形导轨时速度为v₁到达最高位置，速度为v₂，由于恰能通过最高点，则：
mg=

mv2

R

      
得：v₂=2

5

m/s     
杆ab进入半圆形导轨后，由于轨道绝缘，无感应电流，则根据机械能守恒：

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 2

=mg?2R    
得：v₁=10m/s   
设在最低点时半圆形轨道对杆 ab 的支持力为 N
N-mg=

mv2

R

      
解得：N=30N  
（ 2 ）杆ab离开半圆形导轨后做平抛运动，设经时间t落到水平导轨上

1

2

gt2=2R   
解得：t=

2 5

5

s   
则杆ab与NQ的水平距离 S=4m 故EF与NQ的水平距离为4m  
（3）设杆ab做匀减速运动的加速度为a，
则有：v

2 1

-v

2 0

=2as
得：a=-5.5m/s²     
对杆刚要到达NQ位置处进行分析，由F_A=BId，I=

Bdv1

r

得：

B2d2v1

r

根据牛顿第二定律得：F_A=ma
联立解得：B=

mar d2v1

=

1.1

T≈1.05T
答：（l）杆ab刚进入半圆形导轨时，对导轨的压力为30N；
（2）EF到QN的距离为4m；
（3）磁感应强度B的大小为1.05T．

点评：本题的突破口是棒恰能通过最高位置CD，达到临界状态，由牛顿第二定律可求得临界速度．本题是电磁感应中的力学问题，安培力的分析和计算是关键．