Question

如图所示，竖直放置的质量为4m，长为L的圆管顶端塞有一个质量为m的弹性圆球，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为4mg．圆管从下端离地面距离为H处自由落下，落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等．求：
 （1）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足什么条件．
（2）圆管上升的最大高度是多少？
（3）圆管第二次弹起后圆球不致滑落，L又应满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）根据v₀²=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度，从而得知球相对于管的加速度，以管为参考系，根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即可求解．
（2）根据管上升的加速度，以及相对加速度分别求出管从碰地到它弹到最高点所需时间和管从碰地到与球相对静止所需的时间，比较两个时间知道球与管的运动情况，再根据运动学公式求出管上升的最大高度．
（3）根据运动学公式，即可求解．

解答：解：（1）取竖直向下的方向为正方向．
球与管第一次碰地前瞬间速度v0=

2gH

，方向向下．
碰地后的瞬间管的速度v管=-

2gH

，方向向上；球的速度v球=

2gH

，方向向下，
球相对于管的速度v相=2

2gH

，方向向下．
碰后，管受重力及向下的摩擦力，加速度a_管=2g，方向向下，
球受重力及向上的摩擦力，加速度a_球=3g，方向向上，
球相对管的加速度a_相=5g，方向向上．
取管为参照物，则球与管相对静止前，球相对管下滑的距离为：s相1=

v 2 相

2a

=

(2 2gH )2

2×5g

要满足球不滑出圆管，则有L＞S相1=

4

5

H．
（2）设管从碰地到它弹到最高点所需时间为t₁（设球与管在这段时间内摩擦力方向不变），则：t1=

- v   管

a管

=

2gH

2g

设管从碰地到与球相对静止所需时间为t₂，t2=

- v   相

a相

=

2 2gH

5g

因为t₁＞t₂，说明球与管先达到相对静止，再以共同速度上升至最高点，设球与管达到相对静止时离地高度为h′，两者共同速度为v′，分别为：v′=v管-a管t2=

1

5

2gH

h′=v管t2-

1

2

a管t2=

12

25

H
然后球与管再以共同速度v′作竖直上抛运动，再上升高度h″为h″=

v′2

2g

=

( 1 5 2gH )

2g

=

1

25

H
因此，管上升最大高度H’=h′+h″=

13

25

H
（3）当球与管第二次共同下落时，离地高为

13

25

H，球位于距管顶

4

5

H处，同题（1）可解得在第二次反弹中发生的相对位移．
答：（1）圆管弹起后圆球不致滑落，L应满足大于

4

5

H的条件．
（2）圆管上升的最大高度是

13

25

H；
（3）圆管第二次弹起后圆球不致滑落，L又应满足条件是离地高为

13

25

H，球位于距管顶

4

5

H处．

点评：本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．