Question

4．如图，在竖直平面内建立坐标系xOy，第Ⅰ象限有平行板电容器，其中M板带正电，N板带负电且紧靠x轴，其上有一小孔Q．两板左侧紧邻y轴，板间电压为U，间距为d，第Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限空间只有垂直纸面向里的匀强磁场．在电容器内部紧靠M板处有一料子发射器P，某时刻沿x轴负方向以某一初速度发出一个质量为m、电荷量为q的带正电粒子．粒子从y=$\frac{d}{2}$处经过y轴且速度方向与y轴负方向成45°角，其后粒子在匀强磁场中偏转后垂直x轴由小孔Q返回匀强电场，不计粒子重力，求：
（1）粒子刚从发射器射出的初速度及出射点与y轴的距离；
（2）粒子从粒子源射出到返回匀强电场上升到最高点所用的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律求出粒子的初速度与距离．
（2）粒子在运动磁场中做匀速圆周运动，在电场中做竖直上抛运动，求出粒子在磁场与电场中的运动时间，然后求出总的运动时间．

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，
沿初速度方向：x=v₀t₁ 
与初速度v₀垂直的方向：$\frac{1}{2}$d=$\frac{1}{2}$$\frac{qU}{md}$t₁²  
v_y=v₀=$\frac{qU}{md}$t₁，
解得：t₁=d$\sqrt{\frac{m}{qU}}$，v₀=$\sqrt{\frac{qU}{m}}$，x=d，
（2）带点粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由几何关系得，粒子做匀速圆周运动的半径：R=$\frac{\sqrt{2}}{2}$d，
粒子在匀强磁场中运动的时间：t₂=$\frac{5}{8}$T，
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，解得：t₂=$\frac{5πd}{8}$$\sqrt{\frac{m}{qU}}$，
粒子在磁场中运动的速度：v=$\sqrt{2}$v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，
粒子进入匀强电场后上升的最大高度为h，
则：-v²=-2$\frac{qU}{md}$h，解得：h=d，则粒子恰好可以到达M板，
粒子返回进入匀强电场后的运动时间：t₃=$\frac{\sqrt{2}{v}_{0}}{a}$=d$\sqrt{\frac{2m}{qU}}$，
粒子从发射到返回匀强电场上升到最高点所用时间：
t=t₁+t₂+t₃=（1+$\sqrt{2}$+$\frac{5π}{8}$）d$\sqrt{\frac{m}{qU}}$；
答：（1）粒子刚从发射器射出的初速度为$\sqrt{\frac{qU}{m}}$，出射点与y轴的距离为d；
（2）粒子从粒子源射出到返回匀强电场上升到最高点所用的总时间为（1+$\sqrt{2}$+$\frac{5π}{8}$）d$\sqrt{\frac{m}{qU}}$．

点评 本题考查了粒子在电场与磁场中的运动时间，分析清楚粒子的运动过程，应用类平抛运动规律、牛顿第二定律、粒子周期公式即可正确解题．