Question

14．西安地区的纬度在33.42度到34.45度之间，计算时用角度θ表示．已知地球半径为R，重力加速度为g，自转周期为T，光速为c，则地球同步卫星发射的电磁波到达西安地区的最短时间为（　　）

• A． $\frac{\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}}{c}$
• B． $\frac{\root{3}{\frac{{R}^{2}{T}^{2}g}{4{π}^{2}}}-R}{c}$
• C． $\frac{\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}+2Rrcosθ}}{c}$，其中r=$\root{3}{{\frac{{{R^2}{T^2}g}}{{4{π^2}}}}}$
• D． $\frac{\sqrt{{r}^{2}+{R}^{2}-2Rrcosθ}}{c}$，其中r=$\root{3}{{\frac{{{R^2}{T^2}g}}{{4{π^2}}}}}$

Answer 1

分析 在地球表面重力与万有引力相等，同步卫星的周期和地球自转周期相同，根据万有引力提供圆周运动向心力求卫星的轨道半径，再结合空间几何关系求出位移，从而求出时间．

解答 解：根据万有引力提供向心力，有$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}r$，得$r=\root{3}{\frac{GM{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$；因为地球表面物体重力等于万有引力，即${m}_{\;}^{′}g=G\frac{Mm′}{{R}_{\;}^{2}}$，
得：$GM=g{R}_{\;}^{2}$
联立解得：$r=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}$
地球同步卫星发射的电磁波到西安地区的最短路程为：
$S=\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2Rrcosθ}$
电磁波的传播速度为c
故最短时间为：$t=\frac{S}{c}=\frac{\sqrt{{r}_{\;}^{2}+{R}_{\;}^{2}-2Rrcosθ}}{c}$；
其中$r=\root{3}{\frac{{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}g}{4{π}_{\;}^{2}}}$，故D正确，ABD错误．
故选：D

点评 万有引力提供圆周运动向心力，在地球表面重力与万有引力相等，抓住这两点是解决此类问题的关键．本题运用数学知识求解电磁波传播的最短路程是一个难点．