题目内容

2．如图所示，水平轨道左端与长L=1.25m的水平传送带相接，传送带逆时针匀速运动的速度υ0=1m/s．轻弹簧右端固定在光滑水平轨道上，弹簧处于自然状态时左端恰位于A点．现用质量m=0.1kg的小物块（视为质点）将弹簧压缩后由静止释放，到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入竖直固定的光滑半圆轨道最高点并恰好做圆周运动，经圆周最低点C后滑上质量为M=0.9kg的长木板且不会从木板上掉下．竖直半圆轨道的半径R=0.4m，物块与传送带间动摩擦因数μ1=0.8，物块与木板间动摩擦因数μ2=0.25，g取10m/s2．求：
（1）物块到达B点时速度υB的大小；
（2）弹簧被压缩时的弹性势能Ep；
（3）若长木板与水平地面间动摩擦因数0≤μ3≤0.025时，要使小物块恰好不会从长木板上掉下，木板长度的范围是多少．

分析 （1）据物体在B点恰好做圆周运动，由重力充当向心力，利用牛顿第二定律列方程求解．
（2）抓住物块在B点的速度大于传送带的速度，可知物块在传送带上一直做匀减速运动，根据动能定理求出A点的速度，结合能量守恒定律求出弹簧的弹性势能．
（3）根据机械能守恒定律求出C点的速度，讨论μ3=0，μ3=0.025时，通过动量守恒定律和功能关系，以及动能定理求出木板的长度，从而得出木板长度的范围．

解答 解：（1）物体在光滑半圆轨道最高点恰好做圆周运动，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$ ①
可得 vB=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$=2m/s ②
（2）物块被弹簧弹出的过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒，则
弹簧被压缩时的弹性势能 Ep=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ ③
因vB＞v0=1m/s，则物体在传送带上一直做匀减速运动
物块在传送带上滑行过程由动能定理得
-f1L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ ④
又 f1=μ1mg=0.8×0.1×10N=0.8N ⑤
联立②③④⑤解得：Ep=1.2J
（3）物块从B到C过程中由机械能守恒定律得
  mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$ ⑥
联立②⑥解得：vC=$\sqrt{{v}_{B}^{2}+4gR}$=2$\sqrt{5}$m/s ⑦
讨论：Ⅰ．当μ3=0时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为s1，
小物块和长木板共速为v，由动量守恒定律：mvC=（M+m）v ⑧
由功能关系：μ2mgs1=$\frac{1}{2}$mvC2-$\frac{1}{2}$（M+m）v2   ⑨
代入数据解得s1=3.6m（10）
Ⅱ．当μ3=0.025时，小物块恰好不会从长木板上掉下长度为s2，
物块在长木板上滑行过程中，对长木板受力分析：
上表面受到的摩擦力f2=μ2mg=0.25×0.1×10N=0.25N （11）
下表面受到的摩擦力f3=μ3（M+m）g=0.25N=f2 （12）
所以长木板静止不动
对物块在长木板上滑行过程由动能定理得：
-f2s2=0-$\frac{1}{2}$mvC2   （13）
代入数据解得s2=4m（14）
所以木板长度的范围是 3.6m≤s≤4m（15）
答：
（1）物块到达B点时速度υB的大小为2m/s；
（2）弹簧被压缩时的弹性势能Ep是1.2J．
（3）木板长度的范围是 3.6m≤s≤4m．

点评 分析清楚滑块的运动情况和受力情况是解题的关键，据受力情况判断滑块的运动是解题的核心，灵活利用牛顿运动定律、动能定理和能量守恒定律，动量守恒定律进行求解．

练习册系列答案
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