Question

16．竖直放置的平行金属板M，N相距d=0.2m，板长L₀=5m，板间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T，极板按如图所示的方式接入电路．足够长的、间距为L=1m的光滑平行金属导轨CD、EF水平放置，导轨间有竖直向下的匀强磁场，磁感应强度也为B．电阻为r=1Ω的金属棒ab垂直导轨放置且与导轨接触良好．已知滑动变阻器的总阻值为R=4Ω，滑片P的位置位于变阻器的中点．有一个质量为m=1.0×10^-8kg、电荷量为q=+2.0×10^-5C的带电粒子，从两板中间左端以初速度v₀=10m/s沿中心线水平射入场区．不计粒子重力．其他部分电阻不计

（1）当金属棒ab以速度v匀速运动时，粒子从两板间沿直线穿过，求金属棒ab运动速度v的大小和方向．
（2）为了使金属棒ab以速度v向右做匀速运动，要在金属棒ab上增加一水平拉力，求力的大小和方向
（3）若将极板M、N间的磁场撤掉，其他条件不变，要使粒子能打在极板上，则金属棒ab匀速运动的速度v至少多大？

Answer 1

分析 （1）粒子从两板间沿直线穿过，必定做匀速直线运动，否则速度变化，洛伦兹力变化，不可能做直线运动．根据电场力与洛伦兹力平衡，求出板间电压，由串联电路特点求出金属棒产生的感应电动势，从而由公式E=BLv求解v．由右手定则判断v的方向．
（2）根据欧姆定律求出通过金属棒的电流，由安培力公式和平衡条件求解外力的大小和方向．
（3）当撤去MN间的磁场时，带电粒子将受到电场力作用下做类平抛运动，由平抛运动规律可求得金属棒ab匀速运动的最小速度．

解答 解：（1）设平行金属板M、N间电压为U．由于粒子做匀速直线运动，受力平衡，则有：
q$\frac{U}{d}$=qv₀B
可得：U=dv₀B=0.2×10×0.5V=1V
则金属棒产生的感应电动势为：
E=$\frac{U}{\frac{1}{2}R}$（R+r）=$\frac{1}{2}$×（4+1）V=2.5V
由E=BLv得：v=$\frac{E}{BL}$=$\frac{2.5}{0.5×1}$=5m/s
由左手定则知粒子所受的洛伦兹力向上，则电场力向下，M板带正电，由右手定则知金属棒ab的速度v应向右．
（2）通过金属棒的电流为：
I=$\frac{U}{\frac{1}{2}R}$=$\frac{2.5}{2}$A=1.25A
由于金属棒匀速运动，水平外力与安培力大小相等，则外力大小为：F=BIL=0.5×1.25×1N=0.625N，方向向右．
（3）若撤掉M，N极板间磁场，其他条件不变，当粒子刚好能打在极板的右边缘时，ab棒的速度最小，设为v′．
粒子在电场中做类平抛运动，则有：
t=$\frac{{L}_{0}}{{v}_{0}}$=$\frac{5}{10}$s=0.5s
由$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$，得：a=$\frac{d}{{t}^{2}}$=$\frac{0.2}{0．{5}^{2}}$=0.8m/s²
又由牛顿第二定律得：a=$\frac{qU′}{md}$                   
金属棒产生的感应电动势为：E=BLv′
板间电压：U=$\frac{E}{R+r}•\frac{R}{2}$
联立得：v′=$\frac{2mda（R+r）}{BLRq}$=$\frac{2×1×1{0}^{-8}×0.2×0.8×5}{0.5×1×4×2×1{0}^{-5}}$m/s=4×10^-4m/s
金属棒ab匀速运动的速度v至少为4×10^-4m/s．
答：（1）金属棒ab运动速度v的大小为5m/s，方向向右．
（2）为了使金属棒ab以速度v向右做匀速运动，要在金属棒ab上增加一水平拉力，拉力的大小为0.625N，方向向右．
（3）金属棒ab匀速运动的速度v至少为4×10^-4m/s．

点评 金属棒的切割磁感线，产生电动势，金属棒相当于一个电源接入电路．当金属棒匀速直线运动，其电动势稳定．本题关键要抓住电磁感应与电路的联系纽带：感应电动势，能正确分析粒子的运动情况，判断其受力情况，运用力学的基本规律处理带电粒子在磁场、复合场中运动的问题．