Question

如图所示，长度为l的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球．当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上．
（1）当球以角速度ω₁=

g 2l

做圆锥摆运动时，水平面受到的压力F_N是多大？
（2）当球以角速度ω₂=

3g l

做圆锥摆运动时，细绳的张力F T″是多大？

Answer 1

分析：（1）当球做圆锥摆运动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，当小球受到水平面的支持力刚为F_N=0时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出此时的临界角速度．根据角速度与临界角速度的关系，分析水平面有无支持力，采用正交分解法列方程求解支持力，再由牛顿第三定律求出水平面受到的压力F_N．
（2）判断小球是否离开桌面．若小球离开桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解细绳的张力F′_T．

解答：解：对小球：当小球受到水平面的支持力刚为F_N=0时，张力为F_T，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，如图1，根据牛顿第二定律得：
   mgtanθ=mω

2 0

lsinθ  ①
解得：ω₀=

2g l

  ②
（1）因为ω₁＜ω₀，所以水平面对小球的支持力 F_N≠0，如图2，根据牛顿第二定律得：
  F′_Tsin60°=mω

2 1

lsin60°  ③
  F′_N+F′_Tcos60°=mg   ④
解得：F′_N=

3

4

mg  ⑤
（2）因为ω₂＞ω₀，所以小球将离开水平桌面，水平面对小球的支持力 F″_N=0，θ＞60°
则 F″_Tsinθ=mω

2 2

lsinθ  ⑥
 解得：F″_T=3mg  ⑦
答：
（1）当球以角速度ω₁=

g 2l

做圆锥摆运动时，水平面受到的压力F_N是

3

4

mg．
（2）当球以角速度ω₂=

3g l

做圆锥摆运动时，细绳的张力F T″是3mg．

点评：本题是圆锥摆问题，分析小球的受力，确定向心力来源是关键，实质是牛顿第二定律的特殊应用．