题目内容

17．一单匝圆形线圈与两光滑的平行导轨按如图所示连接，置于竖直平面内，圆形线圈的电阻为R、直径与平行导轨的宽度相等，均为l．圆形线圈和平行导轨区域存在方向如图的磁场B1、B2．在t=0时刻，两区域的磁场大小均为B0，质量为m、电阻也为R的金属杆紧贴导轨放置，金属杆与导轨等宽且位于匀强磁场B2区域的上边缘，设金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，其它部分电阻忽略不计．
（1）从t=0开始，圆形线圈内的磁场B1的变化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$为多大，才能使金属杆在导轨上保持静止；
（2）在第一问的情况下，求两导轨间的电压大小；
（3）要使金属杆在导轨上从t=0开始做自由落体运动，圆形线圈内的磁场B1随时间t又怎样变化，请推导B1与t的关系式．

分析 （1）先根据法拉第电磁感应定律得到感应电动势与B1的变化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$的关系．再根据金属杆静止时重力与安培力平衡，列式求解．
（2）由上题求出感应电动势的大小，由欧姆定律求两导轨间的电压大小．
（3）要使金属杆在导轨上从t=0开始做自由落体运动，金属杆所受的安培力应为零，感应电流为零，说明感生电动势与动生电动势完全抵消，据此列式求解．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律得
线圈产生的感应电动势 E1=S$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$
金属杆静止时重力与安培力平衡，则有 mg=B0Il=B0$\frac{{E}_{1}}{2R}$l
联立解得 $\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{8mgR}{π{B}_{0}{l}^{3}}$
（2）由上得 E1=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{2mgR}{{B}_{0}l}$
则两导轨间的电压大小 U=$\frac{R}{2R}{E}_{1}$=$\frac{mgR}{{B}_{0}l}$
（3）金属杆在导轨上从t=0开始做自由落体运动，t时刻产生的动生电动势为 E2=B0lgt
要使金属杆在导轨上做自由落体运动，金属杆所受的安培力应为零，感应电流为零，说明感生电动势与动生电动势完全抵消，则有 E2=E1；
可得 B0lgt=π$（\frac{l}{2}）^{2}$$\frac{△{B}_{1}}{△t}$
解得 $\frac{△{B}_{1}}{△t}$=$\frac{4{B}_{0}g}{πl}$t
故B1=B0-$\frac{△{B}_{1}}{△t}$t=B0-$\frac{4{B}_{0}g}{πl}$t2．
答：
（1）从t=0开始，圆形线圈内的磁场B1的变化率$\frac{△{B}_{1}}{△t}$为$\frac{8mgR}{π{B}_{0}{l}^{3}}$，才能使金属杆在导轨上保持静止；
（2）两导轨间的电压大小为$\frac{mgR}{{B}_{0}l}$；
（3）B1与t的关系式为B1=B0-$\frac{4{B}_{0}g}{πl}$t2．

点评 本题是感生电动势与动生电动势共存的类型，关键要掌握法拉第电磁感应定律，明确自由落体运动的条件．

练习册系列答案
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