题目内容
（2010?厦门二模）磁悬浮铁路系统是一种新型的交通运输系统，（如图1）它是利用电磁系统产生的吸引力或排斥力将车辆托起，使整个列车悬浮在导轨上．同时利用电磁力进行驱动．采用直线电机模式获得驱动力的列车可简化为如下情景：固定在列车下端的矩形金属框随车平移；轨道区域内存在垂直于金属框平面的磁场，磁感应强度沿Ox方向按正弦规律分布，最大值为B0，其空间变化周期为2d，整个磁场以速度v1沿Ox方向向前高速平移，由于列车沿Ox方向匀速行驶速度v2与磁场平移速度不同，而且v1＞v2，列车相对磁场以v1-v2的速度向后移动切割磁感线，金属框中会产生感应电流，该电流受到的向前安培力即为列车向前行驶的驱动力．设金属框电阻为R，长PQ=L，宽NP=d，求：
（1）如图2为列车匀速行驶时的某一时刻，MN、PQ均处于磁感应强度最大值处，此时金属框内感应电流的大小和方向．
（2）列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热．
（3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小，并在图3中定性画出驱动力功率随时间变化在
时间内的关系图线．
（1）如图2为列车匀速行驶时的某一时刻，MN、PQ均处于磁感应强度最大值处，此时金属框内感应电流的大小和方向．
（2）列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热．
（3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小，并在图3中定性画出驱动力功率随时间变化在
| 2d | v1-v2 |
分析：（1）由题v1＞v2，线框中MN、PQ都切割磁感线，相对于磁场向左运动，从而产生感应电流，感应电流方向由右手定则判断．线框相对于磁场速度大小为v1-v2，MN、PQ都产生感应电动势，可公式求出感应电动势和感应电流．
（2）列车匀速行驶过程中，线框中产生正弦式交变电流，根据有效值求出金属线框产生的焦耳热．
（3）当MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处时，线框中产生的感应电动势最大，感应电流最大，金属框左右两边所受安培力最大，列车获得的驱动力最大，根据电磁感应知识求出最大驱动力表达式和其功率表达式．
（2）列车匀速行驶过程中，线框中产生正弦式交变电流，根据有效值求出金属线框产生的焦耳热．
（3）当MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且方向相反处时，线框中产生的感应电动势最大，感应电流最大，金属框左右两边所受安培力最大，列车获得的驱动力最大，根据电磁感应知识求出最大驱动力表达式和其功率表达式．
解答：解：（l）磁场沿Ox方向运动，v1＞v2，等效金属框相对磁场向-x方向运动．由于此时刻MN、PQ边所在处的磁感就强度大小均为B0且方向相反，金属框产生的电动势：E=2B0L（v1-v2）…①
I=
…②
I=
…③
电流的方向根据右手定则可知为：N→M→Q→P→N
（2）设经过时间t，金属框MN，PQ所在处磁场强度大小均为B，B=B0cosωtω=
，
又 T=
得：ω=
i=
=2
(v1-v2)cosωt
得到电流瞬时值的表达式是：i=2
(v1-v2)cos
t…④
④式是正弦交流电流，其交流电最大值为：Im=
…⑤
其交流电有效值为：I=
…⑥
t=
…⑦
矩形金属线框的发热功率为：Q=I2Rt…⑧
得：Q=
…⑨
（3）为使列车得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向处，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大．
根据安培力公式，MN边所受的安培力FMN=B0IL
PQ边所受的安培力FPQ=B0IL
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力同向，此时列车驱动力的大小F
F=FMN+FPQ=2 B0IL…⑩
由③⑩式联立解得：F=
…（11）
驱动力瞬时值表达式是：Ft=2BLi=
cos2
t
驱动力功率的瞬时值：P=Ftv2
所以：P=
[1+cos
t]
画出的驱动力功率随时间变化在
时间内的关系图线见右图．
答：
（1）此时金属框内感应电流的大小为
，电流的方向由N→M→Q→P→N．
（2）列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热为
．
（3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小为
[1+cos
t]，定性画出的驱动力功率随时间变化在
时间内的关系图线见上．
I=
| E |
| R |
I=
| 2B0L(v1-v2) |
| R |
电流的方向根据右手定则可知为：N→M→Q→P→N
（2）设经过时间t，金属框MN，PQ所在处磁场强度大小均为B，B=B0cosωtω=
| 2π |
| T |
又 T=
| 2d |
| (v1-v2) |
得：ω=
| π(v1-v2) |
| d |
| 2B L(v1-v2) |
| R |
| B0L |
| R |
得到电流瞬时值的表达式是：i=2
| B0L |
| R |
| π(v1-v2) |
| d |
④式是正弦交流电流，其交流电最大值为：Im=
| 2B0L(v1-v2) |
| R |
其交流电有效值为：I=
| Im | ||
|
t=
| S |
| v2 |
矩形金属线框的发热功率为：Q=I2Rt…⑧
得：Q=
2
| ||
| Rv2 |
（3）为使列车得最大驱动力，MN、PQ应位于磁场中磁感应强度同为最大值且反向处，这会使得金属框所围面积的磁通量变化率最大，导致框中电流最强，也会使得金属框长边中电流受到的安培力最大．
根据安培力公式，MN边所受的安培力FMN=B0IL
PQ边所受的安培力FPQ=B0IL
根据左手定则，MN、PQ边所受的安培力同向，此时列车驱动力的大小F
F=FMN+FPQ=2 B0IL…⑩
由③⑩式联立解得：F=
4B
| ||
| R |
驱动力瞬时值表达式是：Ft=2BLi=
4
| ||
| R |
| π(v1-v2) |
| d |
驱动力功率的瞬时值：P=Ftv2
所以：P=
2
| ||
| R |
| 2π(v1-v2) |
| d |
画出的驱动力功率随时间变化在
| 2d |
| v1-v2 |
答：
（1）此时金属框内感应电流的大小为
| 2B0L(v1-v2) |
| R |
（2）列车匀速行驶S距离的过程中，矩形金属线框产生的焦耳热为
2
| ||
| Rv2 |
（3）列车匀速行驶时所获得的最大驱动力的大小为
| 2B02L2v2(v1-v2) |
| R |
| 2π(v1-v2) |
| d |
| 2d |
| v1-v2 |
点评：本题是电磁学知识在科学技术中的应用，是复杂的电磁感应现象，是高考命题常有的题型．通过本题的研究可以培养分析问题和解决实际问题的能力．
练习册系列答案
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