Question

如图所示，AB和CD是两根特制的、完全相同的电阻丝导轨，固定在绝缘的竖直墙壁上，上端用电阻不计的导线相连接，两电阻丝导轨相距为L，一根质量为m、电阻不计的金属棒跨接在AC间，并处于x轴原点，与电阻丝导轨接触良好，且无摩擦，空间有垂直墙面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．放开金属棒，它将加速下滑．
（1）试证明，若棒下滑时作匀加速运动，则必须满足的条件是每根导轨的电阻值应跟位移x的平方根成正比，即R=k

x

（k为比例常量）
（2）若棒作匀加速运动，B=1T，L=1m，m=

1

5

kg，k=

1

2

Ω?m^-1/2，求：
①棒的加速度a，
②棒下落1m过程中，通过棒的电荷量q，
③棒下落1m过程中，电阻上产生的总热量Q．

Answer 1

分析：（1）由牛顿第二定律与运动学公式，以及法拉第电磁感应定律来相结合，从而证明可得；
（2）根据上题的证明结论，并结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律与电量的表达式，最后通过能量守恒定律，从而能一一解决问题．

解答：解：（1）设棒以加速度a下落位移x时速度为v，此时棒中的电流为I，每根电阻丝的电阻为R，
由牛顿第二定律得：mg-BIL=ma
由运动学公式得：v=

2ax

由法拉第电磁感应定律及欧姆定律得：I=

BLv

2R

由上式解得：R=

B2L2 2a

2m(g-a)

x

可见，K=

B2L2 2a

2m(g-a)

为比例常量．
即：R=K

x

（2）①由K=

B2L2 2a

2m(g-a)

式整后理代入数据，
求得：a=5m/s²
②由法拉第电磁感应定律得E=

△?

△t

由欧姆定律得I=

E

2R

流过棒的电荷量为q=I△t
解得：q=

△?

2R

=

BLx

2R

=

2

C
③由能量的转化和守恒定律得Q=mgx-

1

2

mv2 
又v=

2ax

解得：Q=mgx-max=

5

J
答：（2）①棒的加速度5m/s²，
②棒下落1m过程中，通过棒的电荷量

2

C，
③棒下落1m过程中，电阻上产生的总热量

5

J．

点评：本题考查了牛顿第二定律、法拉第电磁感应定律、运动学公式、欧姆定律、能量守恒定律等规律，属于力电综合题．