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精英家教网如图所示，平行板电容器板长为L，极板间距为2L，上板带正电，忽略极板外的电场． O、O′是电容器的左右两侧边界上的点，两点连线平行于极板，且到上极板的距离为L/2． 在电容器右侧存在一个等腰直角三角形区域ABC，∠C=90°，底边BC与电容器的下极板共线，B点与下极板右边缘重合，顶点A与上极板等高． 在电容器和三角形区域内宥垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1=B、B2=2B．一带正电的粒子以初速度v0从O点沿着00′方向射入电容器，粒子的重力和空气阻力均不计．
（1）若粒子沿 00′做直线运动，进人三角形区域后，恰从顶点 A飞出，求两极板间的电压U和带电粒子的比荷
qm
．
（2）若撤去电容器中磁场的同时，把三角形区域内的磁场方向变为垂直于纸面向外，但磁感应强度大小不变．此后，同一带电粒子仍以相同的初速度v0 从0点沿着 00′方向射入电容器，求粒子从三角形区域飞出时距离飞出边某一顶点的距离．
分析：（1）粒子在平行板电容器间受电场力和洛伦兹力作用，且二力互相平衡，由于三角形区域ABC为等腰直角三角形，故粒子在磁场中运动轨迹为四分之一圆弧，由半径公式可求比荷
（2）若撤去电容器中磁场，粒子将做类平抛运动，由数学关系可得粒子出射时的速度方向，由于粒子射出电场后进入磁场前做匀速直线运动，进而求出粒子进入磁场的入射方向，粒子进入磁场后改作圆周运动，洛伦兹力提供向心力，求出运动半径，由几何关系可得三角形区域飞出时距离飞出边某一顶点的距离
解答：解：（1）粒子在电容器中受力平衡，故：
U
2L
q=Bqv0①
由于三角形区域ABC为等腰直角三角形，故粒子进入磁场B2到从A射出的轨迹为
1
4
圆周，故半径：
R1=
L
2
②
洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
2Bqv0=
mv
2
0
R1
③
由以上得，
q
m
=
v0
BL
④
（2）粒子在电容器中做类平抛运动，设飞出电场时侧向位移为y，速度方向偏转角为θ，则有：
y=
1
2
×
Uq
2Lm
×(
L
v0
)2⑤
tanθ=
y
L
2
=
2y
L
⑥
解①④⑤⑥得：y=
L
2
，θ=45°⑦
速度大小为：v=
2
v0⑧
粒子射出电场后进入磁场前做匀速直线运动，故将垂直于AB边进入磁场，且做顺时针偏转，设半径为R2，则有：
2Bqv=
mv2
R2
⑨
由②③④⑧⑨得：R2=
2
2
L
由于粒子垂直于AB边进入磁场，且∠ABC=45°，故应垂直于BC边射出，故出射点到B点的距离为：
x=R2=
2
2
L
答：（1）带电粒子的比荷
q
m
为
v0
L

（2）出射点到B点的距离为
2
2
L
点评：注意挖掘“若粒子沿 00′做直线运动”隐含的条件，作出洛伦兹力作用下的圆周运动的草图，考虑在有界磁场中运动的对称性，分析几何关系，利用半径公式解决问题
练习册系列答案
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